Изменения

Мы решим эту проблему с помощью вычислений по модулю <tex>k</tex>, где <tex>k</tex> - слуйчайное число <tex>\le 2^{2^m}</tex>. Таким образом вместо вычисления <tex>y = C(x_1, x_2, ..., x_m)</tex>, мы считаем значение <tex>y \ (mod \ k)</tex>. Очевидно что если <tex>y = 0</tex>, то <tex>y \ mod \ k = 0</tex>. Утверждается что если <tex>y \ne 0</tex>, то с вероятностью хотя бы <tex>\delta = \frac{1}{10m}</tex>, <tex>k</tex> не делится на <tex>y</tex>. Действительно, пусть <tex>y \ne 0</tex> и пусть <tex>S = {p_1, ..., p_l}</tex> {{---}} множество простых делителей <tex>y</tex>. Достаточно показать что с вероятностью <tex>\ge \delta</tex>, <tex>k</tex> будет простым числов <tex>\notin S</tex>. По теореме о простых числах верятность того что <tex>k</tex> будет простым числом <tex>\ge \frac{1}{5m} = 2 \delta</tex>. А так как <tex>y</tex> может иметь максимум <tex>log(y) \le 5m2^m</tex> различных простых делителей, вероятность того что <tex>k \in S \le \frac{5m2^m}{2^{2^m}} << \frac{1}{[10m]} = \delta</tex>. Объединяя эти факты получаем что с вероятнотью хотя бы <tex>\delta</tex>, <tex>y</tex> не будет делиться на <tex>k</tex>.