Изменения

Тогда <tex> A = (p_n, p_{n-1}, \dots, p_1) </tex> является перевернутой перевёрнутой перестановкой <tex> P </tex>.

Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно <tex> \genfrac{}{}{1pt}{0}dfrac{n\cdot(n-1)}{2} </tex>

Рассмотрим все пары <tex> 1 \leqslant i < j \leqslant n </tex>, таких пар всего <tex> \genfrac{}{}{1pt}{0}dfrac{n\cdot(n-1)}{2} </tex>. Тогда пара этих чисел образуют инверсию или в <tex>P</tex>, или в <tex>A</tex>. Если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>P</tex>, то <tex>j</tex> будет стоять после <tex>i</tex> и уже не будет давать инверсию. Аналогично, если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>A</tex>.

Всего таких пар из перестановки и перевернутой перестановки будет <tex> \genfrac{}{}{1pt}{0}dfrac{n!}{2} </tex>.

Итого: <tex> E\xi = \genfrac{}{}{1pt}{0}dfrac{1}{n!}\cdot\genfrac{}{}{1pt}{0}dfrac{n\cdot(n-1)}{2}\cdot\genfrac{}{}{1pt}{0}dfrac{n!}{2} = \genfrac{}{}{1pt}{0}dfrac{n\cdot(n-1)}{4} </tex>