44
правки
Изменения
sta
== Треугольник Паскаля ==
Элементы треугольника (рис.<tex>1</tex>) перечисляют пути, идущие из его вершины в соответствующую клетку. Пути имеют вид ломаных, составленных из векторов единичной длины двух видов: идущих вправо-вниз и идущих влево-вниз.
Производящая функция может быть сопоставлена треугольнику Паскаля несколькими способами. Например, можно рассмотреть производящую функцию
x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (x + y)^k = \dfrac{1}{1 -x - y}</tex>
Также существует еще один способ: сопоставить треугольнику Паскаля ''экспоненциальную производящую функцию''. Экспоненциальная производящая функция отличается от обычной тем, что в качестве коэффициентов степенного ряда берутся не элементы последовательности <tex>a_n</tex>, а числа <tex>\dfrac{a_n}{n!}</tex>.
==Экспоненциальные производящие функции==
{{Определение
|definition=
'''Производящие экспоненциальные функции'''(англ. ''exponential generating function'') {{- --}} функции, соответсвующие последовательности <tex>\{ \alpha_n \} = \dfrac{1}{n!}</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Экспоненциальные производящие функции для целочисленных последовательностей называют '''функциями Гурвица'''(англ. ''Hurwitz function'').
}}
<tex>c_n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a_0 b_n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a_1 b_{n - 1} + \ldots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a_0 b_0</tex>
Еще одно существенное отличие экспоненциальных производящих функций от обычных наблюдается при взятии производных (и интегрировании). Дифференцирование или интегрирование экспоненциальной производящей функции приводит к сдвигу последовательности ее коэффициентов без изменения их велечины :
<tex>\bigg( \dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots \bigg)^{'} = \dfrac{a_1}{0!} + \dfrac{a_2}{1!}s + \dfrac{a_3}{2!}s^2 + \ldots </tex>
<tex>\int \bigg(\dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots \bigg) = \dfrac{a_0}{1!}s + \dfrac{a_1}{2!}s^2 + \dfrac{a_2}{3!}s^3 + \dfrac{a_3}{4!}s^4 + \ldots </tex>
Обычная производящая функция <tex>A(s) = a_0 + a_1s + a_2s^2 + \ldots</tex> выражается через экспоненциальную <tex>\mathcal{A} B(t) = \dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}t + \dfrac{a_2}{2!}t^2 + \ldots </tex> по формуле
<tex>A(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} \mathcal{A}B(st) dt</tex>
Действительно,
<tex>k! = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^kdt</tex>
Теперь можно выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля :
<tex>\sum\limits_{n, m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n + m)!} \begin{pmatrix} n + m \\ m \end{pmatrix} x^n y^m = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(x + y)^n}{n!} = e^{x + y}</tex>
==Треугольник ДикаМногочлены Бернулли==Для начала введен операцию ''усреднения'', положив <tex>A(f(x)) = \int_{x}^{x+1}f(t)dt</tex>. Нетрудно заметить, что эта операция переводит многочлены в многочлены: она линейна, т.е. <tex>A(a_1f_1 + a_2f_2) = a_1A(f_1) + a_2A(f_2)</tex> для любых постоянных <tex>a_1, a_2</tex> и любых многочленов <tex>f_1, f_2</tex>, а ее значение на мономе<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD Моном]</ref> <tex>x^n</tex> равно <tex>A(x^n) = ((x + 1)^{n+1} - x^{n+1}) / (n+1) = x^n + \ldots</tex>, где многоточие обозначает слагаемые, степени которых меньше <tex>n</tex>. Последняя формула показывает также, что преобразование <tex>A</tex> переводит пространство многочленов степени не выше <tex>n</tex> в себя, а значит, является линейным оператором в этом пространстве. Этот оператор обратим. Действительно, любой многочлен степени не выше <tex>n-1</tex> может быть получен в результате усреднения многочлена такой же степени, и, используя последнюю формулу, мы заключаем, что и любой многочлен степени не выше <tex>n</tex> является результатом усреднения некоторого многочлена степени не выше <tex>n</tex>. Отметим, что при усреднении степень многочлена сохраняется.
<tex>DB_0(x, y) = \sum\limits_{i,j =0}^{\infty} d_{ij} x^i y^j1</tex>
<tex>xyDB_2(x, y) + (D(= x,y) ^2 - D(x,0))+ \dfrac{x1}{y6} = D(x, y) - 1</tex>
<tex>DB_4(x, y) = x^4 - 2x^3 + x^2 - \dfrac{1 }{30}</tex> <tex>B_5(x) = x^5 - \dfrac{5}{2}x^4 + \dfrac{5}{3}x^3 - \sqrtdfrac{1 }{6}x</tex> <tex>B_6(x) = x^6 - 4x3x^5 + \dfrac{5}{2} x^4 - 2xy\dfrac{1}{2x(xy2}x^2 + \dfrac{1}{42}</tex> {{Теорема| about = Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли| statement = Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли имеет вид: <tex>\mathcal{B}(x, s) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n(x)\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}</tex>.| proof = Для доказательства теоремы достаточно применить операцию усреднения к левой и правой частям равенства. С одной стороны, мы имеем: <tex>A(B(x, s)) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}A(B_n(x))\dfrac{s^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\dfrac{s^n}{n!} = e^{xs}</tex>. С другой стороны, имеем: <tex>A(\dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}) = \dfrac{s}{e^s-1}A(e^{sx}) = \dfrac{s}{e^s-1}\dfrac{1}{s}(e^{s(x +1)} - ye^{sx})= e^{sx}</tex>, и теорема доказана.}} Определим теперь ''числа Бернулли''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8 числа Бернулли]</ref> как значения многочленов Бернулли в нуле. Вот начало последовательности чисел Бернулли: <tex>1, -\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{1}{6}, -\dfrac{1}{30}, \dfrac{1}{42}, 0, -\dfrac{1}{30}, \dfrac{5}{66}, 0, -\dfrac{691}{2730}, 0, \ldots </tex> Доказанная теорема позволяет нам легко выписать экспоненциальную производящую функцию для чисел Бернулли. Для этого достаточно подставить в экспоненциальную производящую функцию для многочленов Бернулли значение <tex>x = 0</tex>: <tex>\sum\limits_{n=0} B_n\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}</tex>.
==См. также==
*[[Производящая функция]]
==Примечания==
<references/>
==Источники информации==
* ''Ландо С.К.'' '', Лекции о производящих функциях'' . {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007 . {{--- С}} 57с. 57ISBN 978-5-94057-042-4
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
