195
правок
Изменения
→Пример
|statement=
Обозначим через <tex>P(n_{1}, . . . , n_{m})</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый исход случится <tex> n_{1}</tex> раз, второй исход — <tex>n_{2}</tex> раз, и так далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход — <tex>n_{m}</tex> раз тогда верна формула:
<tex > P(n_{1}, . . . , n_{m}) = </tex> <tex dpi = "160"> \fracdfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! .. \cdot n_{m}!}\cdot {p_{1}}^{n_{1}}\cdot... \cdot {p_{m}}^{n_{m}}
</tex>
|proof=
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}}...p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, . . . , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
<tex dpi = "160">\binomdbinom{n}{n_1}\cdot\binomdbinom{n - n_1 - n_2}{n_2} \cdot\binomdbinom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} ...\cdot \binomdbinom{n - n_1 - n_2.. - n_{m -1}}{n_m} = \frac dfrac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! .. \cdot n_{m}!}
</tex>
}}
Теперь мы можем вернуться к последнему примеру и выписать ответ: так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\genfrac{}{}{}{0}{1}{6}</tex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>\genfrac{}{}{}{0}{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна
<tex > P(10, 3, 2) = </tex> <tex dpi = "160"> {15!\over 10! \cdot 3! \cdot 2!} \cdot \left(\fracdfrac{1}{6}\right)^{10} \cdot \left({1\over 6}\right)^3\cdot\left({4\over6}\right)^2
</tex>
