Изменения

===Примеры=====Пример 1===Разложить в ряд функцию <center><tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex> </center>

#Разложить в ряд функцию <tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex>#:Разложим знаменатель функции на множители <center><tex> 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2,</tex></center> #:тогда <center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center> #:Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex>#:<center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2},</tex></center>#:где <tex>A, B</tex> и <tex>C</tex> — некоторые константы. Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:#:<center><tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center>#:Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br>#:<tex>A+B=0</tex> - это коэффициент при <tex>z^2</tex>,<br>#:<tex>B+C-2A=4</tex> - это коэффициент при <tex>z^1</tex>,<br>#:<tex>A+C=8</tex> - это коэффициент при <tex>z^0</tex>. #:Решая систему из трех уравнений, находим <br>#:<tex>A=1</tex>,<br>#:<tex>B=-1</tex>,<br>#:<tex>C=7</tex>. #:Получаем#:<center><tex>

 #:Эти дроби разложим в ряд, пользуясь таблицей производящих функций и формулами преобразования:#:<center><tex>\dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n </tex></center>  #:<center><tex>\dfrac{7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(n+1) z^n </tex></center>  #:<center><tex>\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n .</tex> </center> #:Тогда#:<center><tex> G(z)=\sum_{n=0}^\infty (7(n+1)-n+(-1)^n)z^n=\sum_{n=0}^\infty (6n+7+(-1)^n)z^n</tex></center> #:Или #:<center><tex>[z^n]G(z) = 6n+7+(-1)^n, \qquad n \geqslant 0.</tex></center> ===Пример 2=== #Разложить в ряд рациональную функцию<center><tex>G(z)=\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}.</tex></center>#:Разбив знаменатель на множители, получаем:#:<center><tex>\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}=\dfrac{A}{1-z}+\dfrac{Bz+C}{(1-2z)^2}+\dfrac{D}{1-3z}.</tex></center>#:Приведим все дроби к общему знаменателю:#:<center><tex>\dfrac{(-12A+3B-4D)z^3+(16A-4B+3C+8D)z^2+(-7A+B-4C-5D)z+A+C+D}{(1-z)(1-2z)^2(1-3z)}.</tex></center> #:Решаем систему линейных уравнений: #:<tex>-12A+3B-4D=-59</tex> #:<tex>16A-4B+3C+8D=89</tex> #:<tex>-7A+B-4C-5D=-46</tex> #:<tex>A+C+D=8</tex>  #:Решение этой системы:  #:<tex>A=4, B=3, C=−1, D=5.</tex>  #:Это означает, что#:<center><tex>G(z)= \dfrac{4}{1-z} + \dfrac{3z}{(1-2z)^2} -\dfrac{1}{(1-2z)^2} + \dfrac{5}{1-3z}.</tex></center> #:Теперь каждую дробь можно разложить в ряд, пользуясь таблицей: #:<center><tex>G(z) = 4\sum_{n=0}^\infty z^n + 3\sum_{n=0}^\infty n2^{n-1}z^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1) 2^n z^n+5\sum_{n=0}^\infty 3^n z^n.</tex></center> #:То есть#:<center><tex>[z^n]G(z) = 5\cdot3^n + 3n2^{n-1} - (n+1)2^n+4= 5\cdot3^n+n2^{n-1}-2^n+4</tex></center>   #:<center><tex>G(z) = 8+18z+49z^2+143z^3+425z^4+1267z^5+3777z^6+11259z^7+O(z^{8}).</tex></center>