96
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Эргодическое (стационарное) распределение''' {{--- }} распределение <tex>\alpha = (\alpha_1 \dots \alpha_n )</tex>, такое что <tex>\alpha_i > 0</tex> и<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \alpha_j</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> {{--- }} вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).
}}
|about=Эргодическая теорема
|statement=
Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>P^{n}</tex> [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и эта предельная матрица имеет вид <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{- --}} положительный вероятностный вектор, <tex>\xi</tex> - вектор-столбец из единиц.
|proof=
Рассмотрим матрицу <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что <tex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной.
Из [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | эргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (1 - k)P)^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{- --}} положительный вероятностный вектор. Таким образом:
: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} (kI + (1 - k)P)^{n}</tex>
: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} \sum\limits_{i = 0}^{n} {n\choose i} k^{n - i} (1 - k)^{i} P^{i} ~~~~~ (1)</tex>
{{Теорема
|statement=Если <tex>P, A, \alpha</tex> {{- --}} объекты из предыдущей теоремы. Тогда справедливы факты:
* Для любого вероятностного вектора <tex>\pi</tex> последовательность <tex>\pi P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>\alpha</tex>
==Ссылки==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение {{- --}} Википедия]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Дискретное распределение {{- --}} Википедия]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation Суммируемость по Эйлеру {{- --}} Википедия]
==Литература==
