Изменения
Создание страницы
==Дифференцирование и интегрирование производящих рядов==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> - степенной ряд.
''Производная'' этого степенного ряда выражается формулой
<tex>A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots</tex>
''Интеграл'' этого степенного ряда выражается формулой
<tex>\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots</tex>
}}
Операция дифференцирования обратна операции интегрирования:
<tex>(\int\limits A(s))' = A(s)</tex>.
Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции.
<tex> \int\limits A'(s) = A(s) - A(0) </tex>
===Замечание===
{{Утверждение
|statement=
Для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом
<tex> \int\limits A(s) = \int\limits_{0}^{s} A(\xi) d \xi </tex>.
}}
==Радиусы сходимости==
{{Теорема
|statement= Ряд
<tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex>
имеет тот же интервал сходимости, что и ряд
<tex>\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots</tex>
}}
{{Теорема
|statement= Ряд
<tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots (1)</tex>
имеет тот же интервал сходимости, что и ряд
<tex>A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots (2)</tex>
|proof=
Пусть <tex> x_0 </tex> - произвольная точка интервала сходимости ряда <tex> (1) </tex>, т.е. <tex> |x_0| < R </tex>. Возьмем число <tex> r </tex>, удовлетворяющее условию <tex> |x_0| < r < R </tex>. Оценим модуль общего члена ряда <tex> (5) </tex> в рассматриваемой точке <tex> x_0 </tex>. Имеем
<tex> |n a_n x_0^{n - 1}| \leqslant |a_n r^n| \dfrac{n |x_0|^{n-1}}{r^n} </tex>
Ряд <tex> (1) </tex> абсолютно сходится в точке <tex> r </tex>, т.е. сходится ряд <tex> \sum\limits_{n = 0}^{\infty} |a_n| r^n </tex> и, следовательно, <tex> \lim\limits_{n \to \infty} |a_n| r^n = 0 </tex>. Значит последовательность <tex> \{|a_n| r^n\} </tex> ограничена, т.е. <tex> |a_n| r^n < M </tex> при <tex> n \in \mathbb{N} </tex>, где <tex> M \in \mathbb{R} </tex>. Учитывая это, находим
<tex> |n a_n x_0^{n - 1}| \leqslant M \dfrac{n |x_0|^{n - 1}}{r^n} </tex>
Ряд <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n |x_0|^{n - 1}}{r^n} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_n </tex> сходится, так как
<tex> \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{b_{n + 1}}{b_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n + 1)}{n} \dfrac{|x_0|}{r} = \dfrac{|x_0|}{r} < 1 </tex>.
Используя теорему сравнения, получаем сходимость ряда
<tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} |n a_n x_0^{n - 1}| </tex>
или, что то же, абсолютную сходимость ряда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} n a_n x_0^{n - 1} </tex> в точке <tex> x_0 </tex>. В силу произвольности выбора точки <tex> x_0 </tex> из интервала <tex> (-R, R) </tex>, заключаем, что ряд <tex> (2) </tex> имеет интервал сходимости не меньший интервала сходимости ряда <tex> (1) </tex>. Докажем, что интервал сходимости ряда <tex> (2) </tex> не больше интервала сходимости ряда <tex> (1) </tex>. Допустим противное, а именно допустим, что ряд <tex> (2) </tex> сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>, где <tex> R_1 > R </tex>. Так как ряд <tex> (2) </tex> степенной, его можно почленно интегрировать в пределах от <tex> 0 </tex> до <tex> x </tex>, где <tex> |x| < R_1 </tex>. Ряд, полученный в результате интегрирования, сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>. Он отличается от ряда <tex> (1) </tex> только на постоянное слагаемое. Следовательно, и ряд <tex> (2) </tex> сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>, что противоречит допущению <tex> R_1 > R </tex>.
}}
==Примеры==
===Пример 1===
Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функцию
<tex> f(s) = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} s + \dfrac{1}{3 \times 4} s^2 + \dots + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} s^n + \dots </tex>
Умножая функцию <tex> f </tex> на <tex> s^2 </tex> и дифференцируя, получаем
<tex>(s^2 f(s))' = s + \dfrac{1}{2} s^2 + \dfrac{1}{3} s^3 + \dots = \ln(1 -
s)^{-1}</tex>,
откуда
<tex> f(s) = s^{-2} \int\limits \ln (1 - s)^{-1} = s^{-1} ((s - 1) \ln (1 - s)^{-1} + s) </tex>.
===Пример 2===
Найдем представление в виде степенного ряда функции <tex> \ln (1 + x), |x| < 1 </tex>.
Воспользуемся разложением
<tex> \dfrac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n x^n, |x| < 1 </tex>
Интегрируя этот ряд почленно на отрезке <tex> [0, x] </tex>, находим
<tex> \ln (1 + x) = \int\limits_{0}^{x} \dfrac{dt}{1 + t} = \int\limits_{0}^{x} (1 - t + t^2 - t^3 + \dots)dt = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{n + 1}}{n + 1} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n + 1} x^n}{n} </tex>
==Источники информации==
* ''Ландо С. К.'', Лекции о производящих функциях. {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007. {{---}} 144с. ISBN 978-5-94057-042-4
* [http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question06.pdf Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование] (07.06.2017)
* [http://www.math24.ru/%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B8-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%B2.html Дифференцирование и интегрирование степенных рядов]
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> - степенной ряд.
''Производная'' этого степенного ряда выражается формулой
<tex>A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots</tex>
''Интеграл'' этого степенного ряда выражается формулой
<tex>\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots</tex>
}}
Операция дифференцирования обратна операции интегрирования:
<tex>(\int\limits A(s))' = A(s)</tex>.
Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции.
<tex> \int\limits A'(s) = A(s) - A(0) </tex>
===Замечание===
{{Утверждение
|statement=
Для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом
<tex> \int\limits A(s) = \int\limits_{0}^{s} A(\xi) d \xi </tex>.
}}
==Радиусы сходимости==
{{Теорема
|statement= Ряд
<tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex>
имеет тот же интервал сходимости, что и ряд
<tex>\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots</tex>
}}
{{Теорема
|statement= Ряд
<tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots (1)</tex>
имеет тот же интервал сходимости, что и ряд
<tex>A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots (2)</tex>
|proof=
Пусть <tex> x_0 </tex> - произвольная точка интервала сходимости ряда <tex> (1) </tex>, т.е. <tex> |x_0| < R </tex>. Возьмем число <tex> r </tex>, удовлетворяющее условию <tex> |x_0| < r < R </tex>. Оценим модуль общего члена ряда <tex> (5) </tex> в рассматриваемой точке <tex> x_0 </tex>. Имеем
<tex> |n a_n x_0^{n - 1}| \leqslant |a_n r^n| \dfrac{n |x_0|^{n-1}}{r^n} </tex>
Ряд <tex> (1) </tex> абсолютно сходится в точке <tex> r </tex>, т.е. сходится ряд <tex> \sum\limits_{n = 0}^{\infty} |a_n| r^n </tex> и, следовательно, <tex> \lim\limits_{n \to \infty} |a_n| r^n = 0 </tex>. Значит последовательность <tex> \{|a_n| r^n\} </tex> ограничена, т.е. <tex> |a_n| r^n < M </tex> при <tex> n \in \mathbb{N} </tex>, где <tex> M \in \mathbb{R} </tex>. Учитывая это, находим
<tex> |n a_n x_0^{n - 1}| \leqslant M \dfrac{n |x_0|^{n - 1}}{r^n} </tex>
Ряд <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n |x_0|^{n - 1}}{r^n} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_n </tex> сходится, так как
<tex> \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{b_{n + 1}}{b_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n + 1)}{n} \dfrac{|x_0|}{r} = \dfrac{|x_0|}{r} < 1 </tex>.
Используя теорему сравнения, получаем сходимость ряда
<tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} |n a_n x_0^{n - 1}| </tex>
или, что то же, абсолютную сходимость ряда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} n a_n x_0^{n - 1} </tex> в точке <tex> x_0 </tex>. В силу произвольности выбора точки <tex> x_0 </tex> из интервала <tex> (-R, R) </tex>, заключаем, что ряд <tex> (2) </tex> имеет интервал сходимости не меньший интервала сходимости ряда <tex> (1) </tex>. Докажем, что интервал сходимости ряда <tex> (2) </tex> не больше интервала сходимости ряда <tex> (1) </tex>. Допустим противное, а именно допустим, что ряд <tex> (2) </tex> сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>, где <tex> R_1 > R </tex>. Так как ряд <tex> (2) </tex> степенной, его можно почленно интегрировать в пределах от <tex> 0 </tex> до <tex> x </tex>, где <tex> |x| < R_1 </tex>. Ряд, полученный в результате интегрирования, сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>. Он отличается от ряда <tex> (1) </tex> только на постоянное слагаемое. Следовательно, и ряд <tex> (2) </tex> сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>, что противоречит допущению <tex> R_1 > R </tex>.
}}
==Примеры==
===Пример 1===
Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функцию
<tex> f(s) = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} s + \dfrac{1}{3 \times 4} s^2 + \dots + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} s^n + \dots </tex>
Умножая функцию <tex> f </tex> на <tex> s^2 </tex> и дифференцируя, получаем
<tex>(s^2 f(s))' = s + \dfrac{1}{2} s^2 + \dfrac{1}{3} s^3 + \dots = \ln(1 -
s)^{-1}</tex>,
откуда
<tex> f(s) = s^{-2} \int\limits \ln (1 - s)^{-1} = s^{-1} ((s - 1) \ln (1 - s)^{-1} + s) </tex>.
===Пример 2===
Найдем представление в виде степенного ряда функции <tex> \ln (1 + x), |x| < 1 </tex>.
Воспользуемся разложением
<tex> \dfrac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n x^n, |x| < 1 </tex>
Интегрируя этот ряд почленно на отрезке <tex> [0, x] </tex>, находим
<tex> \ln (1 + x) = \int\limits_{0}^{x} \dfrac{dt}{1 + t} = \int\limits_{0}^{x} (1 - t + t^2 - t^3 + \dots)dt = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{n + 1}}{n + 1} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n + 1} x^n}{n} </tex>
==Источники информации==
* ''Ландо С. К.'', Лекции о производящих функциях. {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007. {{---}} 144с. ISBN 978-5-94057-042-4
* [http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question06.pdf Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование] (07.06.2017)
* [http://www.math24.ru/%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B8-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%B2.html Дифференцирование и интегрирование степенных рядов]
