18
правок
Изменения
fix
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> - — [[Производящая функция | производящая функция]].
''Производной'' этой функции называется функция
Это и есть производящая функция для заданного рекуррентного уравнения. Раскладывая её на простейшие дроби (например, методом неопределенных коэффициентов или методом подстановки различных значений <tex>z</tex>), получаем:
:<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(1 + z)^2} - \dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{1 + z} + \dfrac{7}{9} \times \dfrac{1}{1 - 2 z}</tex>
Второе и третье слагаемые легко раскладываются в степенной ряд, а вот с первым придется чуть повозиться. Используя правило дифференцирования производящих функций имеем:
===Пример 3===
Вычислим обратную функцию к экспоненте. Для этого мы воспользуемся [[Производящая функция#Приложения | разложением экспоненты]]:
:<tex>e^z = \sum\limits_{z = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} z^n</tex>
Чаще используется следующий вариант:
:<tex>-ln(1 - t) = ln((1 - t)^{-1} ) = t + \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>
==Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции==
:<tex>f'(s) = F(s, f(s)) (1)</tex>
на производящую функцию <tex>f(s)</tex>, где <tex>F = F(s, t)</tex> --- — [[Производящие функции нескольких переменных | производящая функция двух переменных]], являющаяся многочленом по <tex>t</tex> (т.е. степень <tex>F</tex> по <tex>t</tex> конечна). Тогда для каждого <tex>f_0</tex> уравнение <tex>(1)</tex> имеет единственное решение, удовлетворяющее условию <tex>f(0) = f_0</tex>
|proof=
