18
правок
Изменения
→Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции: fix
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
:<tex>f'(s) = F(s, f(s)) \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (1)</tex>
на производящую функцию <tex>f(s)</tex>, где <tex>F = F(s, t)</tex> — [[Производящие функции нескольких переменных | производящая функция двух переменных]], являющаяся многочленом по <tex>t</tex> (т.е. степень <tex>F</tex> по <tex>t</tex> конечна). Тогда для каждого <tex>f_0</tex> уравнение <tex>(1)</tex> имеет единственное решение, удовлетворяющее условию <tex>f(0) = f_0</tex>
Вообще, <tex>f_n</tex> находится из уравнения
:<tex>n f_n = \dots \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (2)</tex>,
где точками обозначен многочлен от коэффициентов функции F и коэффициентов <tex>f_0, f_1, \dots, f_n-1</tex> функции <tex>f</tex>. При каждом <tex>n > 0</tex> уравнение <tex>(2)</tex> имеет единственное решение, и теорема доказана.
