288
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
Числа Белла начинаются с ''B''<sub>0</sub> = ''B''<sub>1</sub> = 1 и образуют последовательность :
:1, [[1 (number)|1]], [[2 (number)|2]], [[5 (number)|5]], [[15 (number)|15]], [[52 (number)|52]], [[203 (number)|203]], 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, ... ''n''- элемент чисел Белла, ''B<sub>n</sub>'', показывает количество различных способов разбиения множества, которое имеет не менее ''n'' элементов, т.е. количеству [[отношений эквивалентности|Определение_отношение_эквивалентности]] в нем.
Вне математики, похожие числа показывают количество различных схем рифмовки для ''n''-й строфы стихотворения.
==Подсчет==
===Разделение набора===
[[File:bellOrder.png|right|Разбиения множеств могут быть расположены частично-упорядоченном виде. Каждое подмножество длины n использует одно из подмножеств длины n-1.]][[File:OrderXxxCircles.png|thumb|The 52 partitions of a set with разбиения множества из 5 elementsэлементов]]
''B''<sub>''n''</sub> количество разбиений множества размера ''n''. Разбиение множества ''S'' определяется как совокупность непустых, попарно непересекающихся подмножеств множества ''S''. Например, ''B''<sub>3</sub> = 5, потому что множество, состоящее их 3 элементов {''a'', ''b'', ''c''} может быть разделено 5 различным способами:
:{ {''a'', ''b'', ''c''} }.
''B''<sub>0</sub> является 1, т.к. существует только одно возможное разбиение пустого множества. Каждый элемент пустого множества является непустым множеством и их объединение является пустым множеством. Таким образом, пустое множество может разбиваться только на само себя. Как было обозначено выше, мы не рассматриваем ни порядок подмножеств, ни порядок элементов в каждом их них. Это означает, что данные разбиения являются идентичными:
:{ {''b''}, {''a'', ''c''} }
:{ {''a'', ''c''}, {''b''} }
===Факторизации===
Если число ''N'' является свободным от квадратов, то ''B<sub>n</sub>'' показывает количество различных мультипликативных
Если число ''N'' является квадратичным положительным целым числом (является произведением некоторого числа '' n'' различных простых чисел), то ''B<sub>n</sub> дает число различных мультипликативных разбиений ''N''. Это является факторизацией ''N'' в числа большие, чем 1(рассматривая две факторизации как идентичные, treating two factorizations as the same if they have the same factors in a different orderесли они имеют одинаковые факторы в другом порядке.<ref>{{harvnb|Williams|1945}} credits this observation to Silvio Minetola's ) подтверждает это наблюдение Сильвио Минетоле''Principii di Analisi Combinatoria'' (1909).</ref> Например, 30 является произведением 3 простых чисел 2, 3, and 5, и имеет ''B''<sub>3</sub> = 5 факторизаций:
:<tex>30 = 2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5</tex>
===Схемы рифмовки===
{{main article|Треугольник Пирса}}
[[Image:BellNumberAnimated.gif|right|thumb| Треугольное множество, правая диагональная последовательность которого состоит из чисел Белла]]
Числа Белла могут быть с легкостью '''вычислены ''' с помощью '''треугольника Белла''', который также называют массивом Айткена или треугольником Пирса.
# Начнем с единицы. Помещаем ее в верхнюю строку. (<tex> x_{0,1} = 1 </tex>)
# Каждая новая строка должна начинаться с крайнего правого элемента прошлой строки. (<tex>x_{i,1} \leftarrow x_{i-1, r}</tex> где ''r'' последний элемент (''i''-1)-й строки)
*[http://www.tex.ucsd.edu/~ebender/CombText/ch-11.pdf Bender Edward A.Williamson, S. Gill, Set Partitions, 319–320, 2006]
* [[wikipedia:com:Bells numbers| Bells numbers]]
==Примeчания==
<references/>
