288
правок
Изменения
→Темпы роста
<tex> ~d(x):= \ln \ln (x+1) - \ln \ln x + \frac{1+e^{-1}}{\ln x}\,.
</tex>
Числа Белла могут быть аппроксимированы с помощью [[wikipedia:Lambert W function|'''функции Ламберта Вт'''|]], данная функция имеет такой же темп роста, как логарифм, как
:<tex>B_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{n}{W(n)} \right)^{n + \frac{1}{2}} \exp\left(\frac{n}{W(n)} - n - 1\right). </tex>
Moser Wyman установил расширение:
:<texmath>B_{n+h} = \frac{(n+h)!}{W(n)^{n+h}} \times \frac{\exp(e^{W(n)} - 1)}{(2\pi B)^{1/2}} \times \left( 1 + \frac{P_0 + hP_1 + h^2P_2}{e^{W(n)}} + \frac{Q_0 + hQ_1 + h^2Q_2 + h^3Q_3 + h^4Q_4}{e^{2W(n)}} + O(e^{-3W(n)}) \right)</texmath>
Асимптотическое выражение
:<texmath>
\begin{align}
\frac{\ln B_n}{n} & = \ln n - \ln \ln n - 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \frac{1}{\ln n} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^2 + O\left(\frac{\ln \ln n}{(\ln n)^2} \right) \\
& {} \qquad \text{as }n\to\infty
\end{align}
</texmath>Было установлено '''де Брайном ''' в 1981 году.
{{Reflist|30em}}
