137
правок
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>G' = G \setminus F</tex>, где <tex>F \subset E(G)</tex>, тогда <tex>|F| \leqslant k - 1</tex>
Предположим, что в <tex>G'</tex> нет [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#perfect_matching | совершенного паросочетания]]., тогда выберем [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания#Tutt_set | множество Татта]] <tex>S \subset V(G')</tex>, тогда <tex>odd(G' \subset S) > |S|</tex>
Так как <tex>|V(G)|</tex> чётно, то и <tex>odd(G' \setminus S) + |S|</tex> тоже чётно. Из этого следует, что <tex>odd(G' \setminus S) \equiv |S| \pmod 2 </tex>. Из этого факта и того, что <tex>odd(G' \setminus S) > |S|</tex> следует, что <tex>odd(G' \setminus S) \geqslant |S| + 2 ~~~ \textbf{(1)}</tex>
Пусть <tex>U_1, \cdotcdots, U_n</tex> {{---}} нечётные компоненты связности <tex>G' \setminus S</tex>, тогда <tex>|odd(G' \setminus S)| = n</tex>, а <tex>U_{n+1}, \cdotcdots, U_t</tex> {{---}} его чётные компоненты связности. Для каждого <tex>i \in [1 \cdots t]</tex> определим три величины:
<tex>\alpha_i</tex> {{---}} количество рёбер из <tex>E(G')</tex>, соединяющих <tex>U_i</tex> с <tex>S</tex>,
<tex>\beta_i</tex> {{---}} количество рёбер из <tex>F</tex>, соединяющих <tex>U_i</tex> с <tex>S</tex>,
<tex>\gamma_i</tex> {{---}} количество рёбер из <tex>E(G')</tex>, соединяющих <tex>U_i</tex> с остальными компонентами связности графа <tex>G' \setminus S</tex>, тогда
тогда определим <tex>m_i := \alpha_i + \beta_i + \gamma_i</tex>. Тогда <tex>m_i</tex> {{---}} это количество рёбер графа <tex>G</tex>, соединяющих <tex>U_i</tex> с <tex>V(G) \setminus U_i</tex>.
По лемме [[Совершенное паросочетание в кубическом графе#lemma1 | о сравнимости по модулю 2]] для нечётных компонент связности <tex>G' \setminus S</tex> (то есть <tex>i \in [1 \cdots n]</tex>) <tex>m_i \equiv k \pmod 2</tex>.
<tex>m_i \geqslant \lambda(G) \geqslant k - 1</tex>. Из этого факта и того, что <tex>m_i \equiv k \pmod 2</tex> следует, что <tex>m_i \geqslant k</tex>. Отсюда получаем неравенство:
<tex>\sum\limits_1limits_{i=1}^n \alpha_i + \sum\limits_1limits_{i=1}^n \beta_i + \sum\limits_1limits_{i=1}^n \gamma_i \geqslant kn ~~~ \textbf{(2)}</tex>
Отметим два неравенства:
<tex>\sum\limits_1limits_{i=1}^t \alpha_i + \sum\limits_1limits_{i=1}^t \beta_i \leqslant k|S|</tex>(так как у нас всего <tex>|S|</tex> вершин степени не более <tex>k</tex>, в которые могут вести эти рёбра)
<tex>2 \sum\limits_1limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_1limits_{i=1}^t \gamma_i \leqslant 2|F| \leqslant 2k - 2</tex>(так как <tex>\beta_i \leqslant |F|</tex> и <tex>\gamma_i \leqslant |F|</tex>)
Сложив которые, получаем
<tex>\sum\limits_1limits_{i=1}^t \alpha_i + 3\sum\limits_1limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_1limits_{i=1}^n \gamma_i \leqslant k(|S| + 2) - 2 ~~~ \textbf{(3)}</tex>
Из неравенств <tex>\textbf{(2)}</tex> и <tex>\textbf{(3)}</tex> получаем, что <tex>kn \leqslant k(|S| + 2) - 2</tex>, и, следовательно, <tex>odd(G' \setminus S) = n < |S| + 2</tex>, что противоречит <tex>\textbf{(1)}</tex>. Таким образом, множество Татта найти нельзя, значит, в <tex>G'</tex> существует совершенное паросочетание.
