133
правки
Изменения
Нет описания правки
|statement = Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>, тогда каждая вершина <tex>B</tex> {{---}} центр лапы в <tex>G</tex>.
|proof = Предположим, что <tex>x\in B</tex> не является центром лапы. Тогда <tex>x</tex> смежна не более чем с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>
Введём обозначение <tex>B' = B\setminus x</tex>.<br>Найдём соотношение между [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания#odd | <tex>\mathrm{odd}</tex>]]<tex>(G\setminus B')\ </tex> и <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B)\ </tex>. <br>
Для этого рассмотрим всевозможные случаи количества компонент связности в графе <tex>G \setminus B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, и посмотрим на их четности (компоненты в <tex>B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, нас не интересуют).<br>
# <tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex>.[[Файл:GraphsForLaps.png|300px|thumb|right|<tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности из графа <tex>G \setminus B</tex>]]<br>#: a) Одна компонента чётная, другая {{---}} нечетная. Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> . <br>#: b) Обе компоненты чётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex> . <br>#: c) Обе компоненты нечётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> . <br>
#<tex>x</tex> смежна с одной компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>.<br>
#: a) Эта компонента чётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex> . <br>#: b) Эта компонента нечётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> . <br># <tex>x</tex> не смежна ни с какой компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex> . <br>Рассмотрев случаи, видим, что для любого из них выполнено: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex> . <br><tex>B</tex> {{---}} барьер <tex> \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) </tex> . <br>Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant |B| - 1 + \mathrm{def}(G)</tex>. <br> То есть <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \geqslant \mathrm{def}(G)</tex>. <br>
Тогда возможны два случая:
#Если выполняется равенство <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ = \mathrm{def}(G) </tex>, то, по определению, <tex>B'</tex> является барьером. <br>
