Изменения
Изменил ссылку на статью про математическое ожидание, до этого переходила на "Дискретная случайная величина"
{{Определение|id =def1|definition = Определение ='''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] (англ. ''variance'') называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D \xi =E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где <tex>\xi</tex> {{---}} случайная величина, а <tex>E</tex> {{---}} символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]}}
{{Утверждение|statement=В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула <tex>D \xi = Замечания E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>|proof=<tex>D \xi =E(\xi - E\xi)^2 = E(\xi^2 -2(E\xi)\xi + (E\xi)^2) = </tex><tex>= E\xi^2 + (E\xi)^2 - 2(E\xi)E\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 </tex>}}
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0</tex>
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]]
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> {{---}} константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi</tex>
* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} константа.
== Связь с центральным моментом ==
{{Определение
|id = def1
|definition=<b>Центральным моментом</b> (англ. ''central moment'') <tex>k</tex>-ого порядка случайной величины <tex>\xi</tex> называется величина <tex>\mu_k</tex>, определяемая формулой <tex>\mu_k = E(\xi -E\xi)^k</tex>.
}}
Заметим, что если <tex>k</tex> равно двум, то <tex>\mu_2 = E(\xi -E\xi)^2 = D \xi</tex>.
Таким образом, дисперсия является центральным моментом второго порядка.
== Пример ==
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.
{{Задача
|definition=Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на честной игральной кости с первого броска.
}}
<tex> \xi(i) = i </tex>
Вычислим математическое ожидание: <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot \dfrac{1}{6} +2\cdot \dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \dfrac{1}{6} = 3.5</tex>
Вычислим дисперсию: <tex>D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot \dfrac{1}{6}+4\cdot \dfrac{1}{6} \dots +36\cdot \dfrac{1}{6} - (3.5)^2 \approx 2.9</tex>
== См. также == * Дисперсия любой [[случайная величинаКовариация случайных величин|случайной величиныКовариация случайных величин]] неотрицательна: <tex>D[X] \geqslant 0;</tex>* Если дисперсия [[случайная величинаКорреляция случайных величин|случайной величиныКорреляция случайных величин]] конечна== Источники информации ==*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ, то конечно и её математическое ожидание;3-е изд.: Издательский дом "Невский диалект", 2003 {{---}} стр. 68.* Если [[случайная величина]] равна константе, то её дисперсия равна нулюhttps: <tex>D[a] = 0//ru.wikipedia.<org/tex> Верно и обратное: если <tex>D[X]=0,<wiki/tex> то <tex>X =\mathbb%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия {{E---}[X} Дисперсия случайной величины]</tex> почти всюду;* Дисперсия суммы двух [[случайная величина|случайных величин]https://en.wikipedia.org/wiki/Variance Wikipedia {{---}} Variance] равна:*[http: <tex>\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm //www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/theme0/3.asp#2\,\textEXPonenta.ru {{Cov---}(X, Y)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(X, Y)</tex> — их [[Ковариация Числовые характеристики случайных величин|ковариация]];* <tex>D\left[aX\right[Категория: Дискретная математика и алгоритмы] = a^2D[X];</tex>* <tex>D\left[-X\right] = D[XКатегория: Теория вероятности];</tex>* <tex>D\left[X+b\right] = D[X].</tex>