Изменения

|proof= Рассмотрим дерево, построенное следующим образом: к вершине дерева <tex> x </tex> подвесим <tex> n </tex> свободных вершин (в дереве они станут листьями) и бамбук, расстояние в котором от листа до <tex> x </tex> назовём числом <tex> l </tex>. Докажем, что существуют такие <tex> n, l </tex>, что расстояние между центром и барицентром не меньше <tex> k </tex>.

Для удобства будем считать, что центр один, для этого будем рассматривать только нечётные <tex> l. </tex> Назовём лист бамбука вершиной <tex> a </tex>, а центр дерева <tex>- \ c </tex>. Тогда <tex> dist(a, c) = \displaystyle \frac{l+1}{2} </tex>. Теперь будем искать, какое <tex> n </tex> стоит выбрать, чтобы барицентром оказалась вершина <tex> x </tex>. Найдём <tex> d(x) </tex>: <tex> d(x) = n + 1 + \dots + l = n + \displaystyle \frac{(l+1)l}{2} </tex>. Рассмотрим вершину <tex> v \neq x </tex>. <tex> d(v) > 2(n-1) </tex>, так как все вершины, кроме <tex> x </tex> удалены хотя бы на расстояние <tex> 2 </tex> от <tex> n-1 </tex> вершины. В таком случае, <tex> d(x) < d(v) \Leftarrow n > \displaystyle \frac{(l+1)l}{2} + 2 </tex>. Мы получили, что <tex> dist(c, x) = \displaystyle \frac{l-1}{2} </tex>, и <tex> x </tex> является барицентром. Найдём такие <tex> l ,</tex> что <tex> \displaystyle \frac{l-1}{2} \geqslant k</tex>. Для этого можно взять любое <tex> l \geqslant 2k + 1 </tex>. Таким образом, искомые <tex> n, l </tex> существуют.

'''Замечание''': доказательство существования такого <tex> n </tex>, чтобы вершина <tex> x </tex> была барицентром можно было проводить и неконструктивно, ведь очевидно, что при больших <tex> n </tex> у барицентра должно быть минимальное расстояние до <tex> n </tex> листьев. И такой вершиной и является <tex> x </tex>.

== Примечания ==