Изменения

|proof = Пусть <tex>H</tex> {{---}} пересечение всех максимальных по включению барьеров графа <tex>G</tex>. Чтобы доказать теорему, докажем, что <tex>A(G)\subset H</tex> и <tex>A(G)\supset H</tex>.<br>

<br>

Пусть <tex>B</tex> {{---}} максимальный по включению барьер, <tex>|A(G)\setminus B| = k > 0</tex>, <tex>B' = B \cup A(G) \Rightarrow |B'| = |B| + k</tex>.<br>

Докажем, что <tex>B'</tex> {{---}} барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, ведь в таком случае <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{def}(G)\ + |B| + k \Rightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \geqslant \mathrm{def}(G)</tex>. <br>

Просуммировав прибавления по всем компонентам связности графа <tex>G - B</tex>, содержащим вершины из <tex>A(G)</tex>, мы получим, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, что и требовалось доказать.<br>

<br>

Предположим противное: пусть существует вершина <tex>x\notin A(G)</tex>, принадлежащая всем максимальным барьерам. По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct3| теореме о структуре барьера]] <tex>x\in C(G)</tex>.<br>

Рассмотрим максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex>, пусть <tex>xy\in M</tex>.<br>