Изменения
Нет описания правки
==Теорема Турана==
[[Файл:Turan example.png|200px|thumb|right|Пример графа Турана при <tex>n = 8, r = 4</tex>]]'''Теорема Ту́рана''' (англ. ''Turán's theorem'') {{---}} классическая теорема экстремальной теории графов<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2 Экстремальная теория графов]</ref>. Она послужила образцом для большого количества подобных теорем, которые изучают , как наличие тех или иных подструктур влияет на некоторые глобальные параметры, такие как ([[Раскраска графа| хроматическое число]], относительно присутствия тех или иных подструктур).
Впервые задачу теорему сформулировал венгерский математик Пал Туран в <tex>1941 </tex> году.
{{Определение
|definition=
<tex>ex(n, K^r)K_n</tex> {{---}} максимальное количество ребер в графе полный граф на <tex>n</tex> вершинах, которые не содержит <tex>K^r</tex> как подграф.
}}
{{Определение
|definition=
}}
{{Определение
|definition=
'''Граф Турана''' <tex> t_T^{r-1}(n) </tex> {{---}} полный <tex>(r - 1)</tex>-[[Двудольные графы|дольный]] граф на <tex>n > r-1</tex> вершинах, доли которого по мощности отличаются не более чем на <tex>1</tex>. Если количество ребер в вершин не превосходит количество долей (<tex>n \leqslant r - 1</tex>), то <tex>T^{r-1}(n)= K_n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>t_{r-1}(n)</tex> {{---}} количество ребер в <tex>T^{r-1}(n)</tex>.
}}
{{Лемма
|statement=
Если <tex>G</tex> {{---}} <tex>(r - 1)</tex>-дольный граф с максимальным количеством ребер, то <tex>G = T^{r-1}(n)</tex>.
|proof=
Докажем от противного. Пусть существует <tex>(r - 1)</tex>-дольный граф с максимальным числом ребер, который не является графом Турана.
Обозначим его <tex>G_m</tex>.
Очевидно, что <tex>G_m</tex> является полным <tex>(r - 1)</tex>-дольным.
Так как <tex>G_m \ne T^{r-1}(n) </tex>, то в <tex>G_m</tex> существуют доли <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex>, что <tex>|V_1| - |V_2| > 1</tex>.
Но тогда возьмем вершину <tex>a \in V_1</tex> и перекинем ее в <tex>V_2</tex>. Тогда количество вершин, которые не могут быть соседями <tex>a</tex> уменьшилось с размером ее доли. Остальной граф не изменился, поэтому общее количество ребер увеличилось.
Это противоречит предположению, что граф <tex>G_m</tex> максимален по числу ребер.
Значит лемма доказана.
}}
{{Теорема
|statement=
Для всех целых натуральных чисел <tex>r</tex>, <tex>n</tex>, где <tex>r > 1</tex>, любой граф <tex>G \nsubseteq K^rK_r</tex> с <tex>n</tex> вершинами и <tex>ex(n, K^rK_r)</tex> ребрами есть <tex>T^{r-1}(n)</tex>.
|proof=
}}
==См. также==
*[[Раскраска графа]]
*[[Двудольные графы]]
==Примечания==
<references />
==Источники информации==
*''Дистель, Рейнград.'' Теория графов: Пер. с англ. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. — 166-170 стр. — ISBN 5-86134-101-X.*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2 Экстремальная теория графов] [[Категория: Раскраски графов]][[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]