20
правок
Изменения
fixes 4.0
Пусть <tex>B</tex> {{---}} максимальный по включению барьер, <tex>|A(G)\setminus B| = k > 0</tex>, <tex>B' = B \cup A(G) \Rightarrow |B'| = |B| + k</tex>.<br>
Докажем, что <tex>B'</tex> {{---}} барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, ведь в таком случае <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{def}(G)\ + |B| + k \Rightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \geqslant \mathrm{def}(G)</tex>. <br>
Пусть <tex>W</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - B</tex>, содержащая <tex>t > 0</tex> вершин из <tex>A(G)</tex> (см. рисунок <tex>1</tex>), если такой компоненты нет, то <tex>k = 0</tex> {{---}} противоречие. <br>В силу [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct1| леммы о связи барьера]] с <tex>D(G)</tex>, <tex>B\cap D(G) = \varnothing \Rightarrow B'\cap D(G) = \varnothing</tex>. Поэтому, <tex>W</tex> содержит все компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, соединённые рёбрами с <tex>W\cap A(G)</tex>. <br>
По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#theorem_Gallai_Edmonds| теореме Эдмондса-Галлаи]] все эти компоненты связности нечетные и их хотя бы <tex>t + 1</tex>. <br>
Таким образом, при добавлении <tex>t</tex> вершин из <tex>W\cap A(G)</tex> в барьер может исчезнуть одна нечётная компонента связности (если <tex>|W|</tex> нечётно), а появляется хотя бы <tex>t + 1</tex> нечётная компонента нечётных компонент связности. <br>
Просуммировав прибавления по всем компонентам связности графа <tex>G - B</tex>, содержащим вершины из <tex>A(G)</tex>, мы получим, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, что и требовалось доказать.<br>
<br>
