Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''',<ref name="Steffensen" /> '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают::<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
{{Определение
|definition=
'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''',<ref name="Steffensen">Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)</ref> '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой::<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
Другое обозначение растущего факториала <tex>x^{(n)}</tex> реже встречается, чем <tex>(x)^+_n</tex>. Обозначение <tex>(x)^+_n</tex> используется для растущего факториала, запись <tex>(x)^-_n</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.<ref name=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. <tex>1</tex>, <tex>3</tex>rd ed., p. <tex>50</tex>.</ref>
[[File:RisingFactorial_3.jpg|401px|thumb|upright|График растущего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
==Примеры==
[[File:XxxCirclesPlotThePochhammerSymbolExample_02.png|420px401px|thumb|upright|График убывающего символа Похгаммерафакториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
Несколько первых растущих факториалов:
:<tex>x^{(0)}=x^{\overline0}=1 </tex>
==Свойства==
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex dpi=150>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
===Коэффициенты связи===
Так как убывающие факториалы {{---}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<tex dpi=150>(x)_m (x)_n = \sum\limits_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>
{{Определение
|definition=
Коэффициенты <tex dpi=150>{m \choose k} {n \choose k} k!</tex>, стоящие при <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex>, называются '''коэффициентами связи''' (англ. ''connection coefficients'').
}}
===Биномиальный коэффициент===
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
:<tex dpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.
===Связь убывающего и растущего факториалов===
Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>
или как убывающий с противоположным аргументом,
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>
Убывающий факториал возможно выразить следующим способом: :<tex dpi=150>(x^)_{m+n} = x_{m} (x-m)_{n}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n}=\frac{1}{(x+1)(x+2) \Gammacdots (x+n)} = \frac{1}{(x+1)^n} = \Gammafrac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}},</tex>
:<tex dpi=150>x^{(xn)_n} =\fracsum\limits_{\Gamma(x+k=1)}{\Gamma^n s(x-n+1,k)}.x^k</tex>
== Связывающие коэффициенты ==Числа Лаха====Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха<ref name="Lah numbers">[https://en.wikipedia.org/wiki/Lah_number Lah numbers]</ref>:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>|proof=Второе равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой::<tex dpi=150> x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим::<tex dpi=150> m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k) </tex>Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> при <tex dpi=150>m+1 \leqslant k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с <tex dpi=150>k\geqslant m+1</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)</tex>Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex> и тождества получим, что левая часть равна::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-1}{n}</tex>а правая часть будет равна:
Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150> x^{\underline{n}} = \sum_{k=1}^n \binom{n+m-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k </tex>:элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150> = (n-1)^n (-x)_n </tex> и <tex dpi= (x-n+1)_n 150>m</tex> элементов, <tex dpi= \frac{1}{(x+1)^{\overline{-150>n}}} </tex>:элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi=150> (x)_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} </tex>:означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi=150> = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} m</tex>:, а <tex dpi=150> = \binom{-x}{n} (-1)^n n! k</tex>:из второго множества размера <tex dpi=150> = \binom{x+n-1}{n} n! </tex>.Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi=150> x^n = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} +1</tex>:точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi=150> = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex>, то есть они формально совпадают.}}
Значит:<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex>
<tex dpi=150>\Gamma(x+1) =Альтернативные формы записиx\cdot\Gamma(x) =x(x-1)\cdot\Gamma(x-1)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots = x(x-1)\cdots(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n+1)</tex>
==Обобщения==
Обобщение убывающего факториала, в которой {{---}} функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются какопределённая следующим образом:
:<texdpi=150>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</tex>
где :<tex>-h</tex> декремент и :<tex>k</tex> {{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число факторовмножителей соответственно. Соответствующее обобщения Аналогичное обобщение растущего факториала:
:<texdpi=150>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</tex>
Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые <tex dpi=150>[''x'']<sup>''^{k''/1}]</suptex> и <tex dpi=150> and [''x'']<sup>''^{k''/−-1}]</suptex> соответственно.
Для арифметической функции <tex>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</tex> и параметров <tex>x, t</tex> определен определено обобщенное факториальное произведение вида:
:<texdpi=150>(x)_{n,f,t} := \prod_prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>
== См.также ==
*[[Числа Стирлинга первого рода]]
*[[Числа Стирлинга второго рода]]
==Примeчания==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials#cite_ref-3 Wikipedia {{---}} Falling and rising factorials]
* [https://www.mathworks.com/help/symbolic/pochhammer.html?requestedDomain=true Pochhammer Symbol at MATLAB]
* [http://mathworld.wolfram.com/RisingFactorial.html Rising Factorial]
* [https://www.researchgate.net/publication/309461372_Several_identities_involving_the_falling_and_rising_factorials_and_the_Cauchy_Lah_and_Stirling_numbers Several identities involving the falling and rising factorials and the Cauchy, Lah, and Stirling numbers]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Символ ПохгаммераКомбинаторика]] = ЭТО НЕ КОНЕЦ, ЭТО ЕЩЕ ТОЛЬКО НАЧАЛО =