Изменения

<tex> A = \lim\limits_{x \to a+0} f(x) = f(a+0)</tex> {{---}} '''правосторонний''' предел, если <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta: \ \ 0 < x - a < \delta \Rightarrow | f(x) - A| < \varepsilon </tex>. <tex> A = \lim\limits_{x \to a-0} f(x) = f(a-0)</tex> {{---}} '''левосторонний''' предел, если <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta: \ \ 0 < a - x < \delta \Rightarrow | f(x) - A| < \varepsilon </tex>. Если <tex>\ f(a-0) = f(a+0) = A </tex>, то <tex>A = \lim\limits_{x \to a} f(x)</tex>.}} == Классификация точек разрыва =={{Определение|definition=Пусть <tex> a </tex> {{---}} точка разрыва функции <tex> f(x) </tex>. Тогда:# Если <tex> \exists A = \lim\limits_{x \to a} f(x)</tex>, то <tex> a </tex> {{---}} точка '''устранимого''' разрыва, и, как правило, функцию доопределяют: <tex> f(a) = A</tex>.# Если <tex> \exists f(a-0), f(a+0)</tex> и <tex> f(a-0) \ne f(a+0) </tex>, то в точке <tex> a </tex> {{---}} разрыв '''первого рода'''.# Иначе в точке <tex> a </tex> {{---}} разрыв '''второго рода'''.}} == Простая, но важная теорема == {{Теорема|statement =Пусть функция <tex> f </tex> {{---}} монотонна и ограничена в проколотой окрестности точки <tex> x_0 </tex>. Тогда в этой точке у функции существует односторонний предел. |proof =Рассмотрим левосторонний предел и будем считать, что функция возрастает. Так как <tex> f </tex> {{---}} ограничена, то <tex> M = \sup\limits_{x < x_0} f(x) < +\infty </tex>. Докажем, что <tex> M = \lim\limits_{x \to x_0 - 0} f(x) </tex>, используя свойства <tex> \sup </tex>. <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists x_1 < x_0 : M - \varepsilon < f(x1)</tex>

Тогда так как <tex> A = f(x)\!\!\limuparrow \limits_{forall x \to a-0} in (x_1; x_0) \ \ f(x_1) \le f(x)</tex> {{---}} '''левосторонний''' предел, если тогда для таких <tex>x \forall \ M - \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta: \ \ 0 < a - x < \delta \Rightarrow | f(x) - A| < \le M \le M + \varepsilon </tex>.

Если В качестве <tex>\ \lim\limits_{x \to a+0} f(x) = \lim\limits_{x \to a-0} f(x) = A delta </tex>, можно брать то <tex>A \delta = \lim\limits_{x \to a} f(x)x_0 - x_1 </tex>, тогда предел существует по определению.