693
правки
Изменения
→Треугольник Паскаля
}}
[[File:Pascal_triangle.png|thumb|400px350px|right|Рис.<tex>1</tex>]]
Элементы треугольника (рис.<tex>1</tex>) перечисляют пути, идущие из его вершины в соответствующую клетку. Пути имеют вид ломаных, составленных из векторов единичной длины двух видов: идущих вправо-вниз и идущих влево-вниз.
Производящая функция может быть сопоставлена треугольнику Паскаля несколькими способами. Например, можно рассмотреть производящую функцию
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} c_{n,k} x^k y^n = \sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k y^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}</tex><tex>\Big(\sum\limits_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^k\Big) y^n = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (1 + x)^n y^n = \dfrac{1}{1 - y - xy}</tex>
[[File:Pascal_triangle_3.png|thumb|385px320px|right|Рис.<tex>2</tex>]]
Второй способ соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.<tex>2</tex>) <tex>C_{n,m} = c_{n+m, n} = \binom{n+m}{m}</tex>. Тогда производящая функция будет иметь вид
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \binom{n+m}{m} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} </tex><tex> \Big(\sum\limits_{n + m = k} \binom{n+m}{n}x^n y^m \Big)= \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^{\infty} (x + y)^k = \dfrac{1}{1 -x - y}</tex>
Также существует еще один способ: сопоставить треугольнику Паскаля ''экспоненциальную производящую функцию''. Экспоненциальная производящая функция отличается от обычной тем, что в качестве коэффициентов степенного ряда берутся не элементы последовательности <tex>a_n</tex>, а числа <tex>\dfrac{a_n}{n!}</tex>.
