Изменения
Нет описания правки
Тейлор
|statement=
<tex dpi=150>\forall x_0 \in \mathbb{R} \ P_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{P_n^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k</tex> {{---}} разложение
полинома по степеням <tex>x - x_0</tex>
|proof=
Забавный факт: <tex>x = x - x_0 + x_0</tex>. Тогда <tex>x^k = (x - x_0 + x_0)^k = \sum\limits_{j=0}^k C_j^k (x - x_0)^j x_0^{k - j}</tex>
<tex>P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k = \sum\limits_{k = 0}^n a_k \sum\limits_{j=0}^n k C_j^k (x - x_0)^j x_0^{k - j}</tex>
Так как в этой повторной сумме(что хотел этим сказать автор?) формуле <tex>x - x_0</tex> присутствует максимум в <tex>n</tex>-й степени,
собрав коэффициенты при одинаковых степенях <tex>x-x_0</tex>, получим полином искомые коэффициенты <tex>b_i</tex>
Теперь докажем, что <tex dpi=150>b_k = \frac{P_n^{(k)}(x_0)}{k!}</tex>.
Если порядок меньше, чем не равен <tex>k</tex>, то значение <tex>k</tex>-й производной в нуле равно
<tex>\left. (x^p)^{(k)} \right|_0 = 0</tex>
