Изменения

|definition=Последовательность, в которой отношение двух соседних членов равно отношению многочленов <tex>A(n)</tex> степени <tex>k</tex>, где <tex>k > 0</tex> и <tex>n</tex> - порядковый номер члена последовательности, называется '''гипергеометрической'''(англ. 'Гипергеометрической'hypergeometric sequence'' называется последовательность, степени многочленов которой больше нуля).

|statement=Пусть последовательность <tex>a_0,a_1, \ldots</tex>,... положительных чисел такова, что<tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_{n}a_n}=A\fraccfrac{n^k+\alpha_1nalpha_1 \cdot n^{k-1}+...\ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1nbeta_1 \cdot n^{k-1}+...\ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1\ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n\sim cAc \cdot A^nnn \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.|proof=Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim {\frac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>.

'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы <tex>c</tex>. Действительно, умножив последовательность <tex>a_n</tex> на произвольную постоянную <tex>d > 0</tex>, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа <tex>c</tex> для которой увеличивается в <tex>d</tex> раз. |proof=Рассмотрим предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. При <tex>a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторого <tex>c</tex> данный предел будет существовать и равен <tex>c</tex>. С другой стороны, из определения существования предела<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Предел числовой последовательности]</ref> на бесконечности следует, что он равен некоторому <tex>c</tex>, то есть <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}} = c</tex>. Из чего можно сделать вывод, что утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\cdot \ln n)}</tex>.<br>Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши<ref>[http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0509.html Критерий Коши]</ref>, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru. Фундаментальность последовательности означаетwikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>.  Перепишем отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A \cdot \cfrac{1 + \alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1 + \beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=A \cdot f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>, где <tex>f(x)=\cfrac{1 + \alpha_1 \cdot x + \ldots + \alpha_k \cdot x^k}{1 + \beta_1 \cdot x + \ldots + \beta_k \cdot x^k}</tex> Прологарифмировав отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, что получаем  <tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>. Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0</tex>: <tex>f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x + \gamma \cdot x^2 + \ldots </tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем  <tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1) \cdot x+\tilde{\gamma} \cdot x^2 + \ldots</tex>  Поэтому для любого некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x) - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x|<C \cdot x^2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>&forall; n>N</tex> получаем систему <tex>(*)</tex> <tex>\begin{equation*} \begin{cases} \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| < C \cdot \cfrac{1}{n^2}, \\  \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| < C \cdot \cfrac{1}{(n+1)^2}, \\  \ldots \\  \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| < C \cdot \cfrac{1}{(n+m)^2}. \\ \end{cases}\end{equation*}</tex> Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln {(n + m)} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n| < &epsilon; </tex> можно оценить с помощью системы <tex>(*)</tex> и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>: <tex>\left| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot ( \ln {(n+m)} - \ln n) \right| =</tex> <tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - </tex> <tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot (\ln {(n+m)} - \ln n) \Bigg| \leqslant</tex> существует такой номер N <tex>\leqslant \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| + \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| +</tex>  <tex>\ldots</tex> <tex>+ \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right| \leqslant</tex> <tex>\leqslant C \cdot \left(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}\right) + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right|</tex>. Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что для всех стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,  [[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg|350px|thumb|right|График функции <tex>y = \cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n + m]</tex>]]  (Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>\cfrac {1}{x}</tex> равна <tex>\ln {(n + m)} - \ln {n}</tex>, площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>\left| (\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - \left( \ln {(n+m)} - \ln n \right) \right| =</tex> <tex>= \left| \ln {\cfrac {n+m-1}{n+m} - \ln {\cfrac {n-1}{n }}} \right| = </tex> <tex> N и всех положительных = \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| <</tex> <tex>< \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| < C \cdot \cfrac{1}{n}</tex>.

== Примеры =='''Замечание:Пример.''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, умножив последовательность an на произвольную постоянную d > 0, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа c Рассмотрим производящую функцию для которой увеличивается в d раз[[Числа Каталана|чисел Каталана]]

<tex>s \cdot A^2(s) = s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + 14 \cdot s^4 + \ldots = A(s) - 1</tex>, что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию <tex>s \cdot A^2(s) - A(s) + 1 = 0,</tex> откуда <tex>A(s) = \cfrac {1 - \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s}</tex> Второй корень уравнения отбрасывается, так как <tex>\cfrac {1 + \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s} = \cfrac {1}{s} + \ldots</tex> содержит отрицательные степени <tex>s</tex> Найденная производящая функция позволяет найти явную форму для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]. Согласно биному Ньютона <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Бином Ньютона]</ref> <tex>a_n = \cfrac {\cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {3}{2} \cdot \ldots \cdot \cfrac {2 \cdot n - 1}{2} \cdot 4^{n + 1}}{2 \cdot (n + 1)!},</tex> откуда, умножая на числитель и знаменатель на <tex>n!</tex> и сокращая на <tex>2^{n + 1}</tex>, получаем <tex>a_n = \cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} = \cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}</tex> Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]: <tex>\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4 \cdot n + 2}{n+2}=4 \cdot \cfrac{ n + \cfrac{1}{2}}{n+2}</tex> Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\fracdfrac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.

<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1-\fraccfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1 - \fraccfrac{\alpha}{1!} \fraccdot \cfrac{s}{a} + \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2!}\cdot {\left(\fraccfrac{s}{a}\right)^2} - \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (\alpha-2)}{3!}\cdot \left(\fraccfrac{s}{a}\right)^3+\ldots \right)</tex> Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает.В противном случае, начиная с некоторого номера, все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак.Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \cdot \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n! \cdot {\alpha}^n}:</tex> <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex> Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>.Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4 \cdot s)^{\dfrac{1}{2}}</tex>ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\dfrac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]. == См.также == * [[Производящая функция]]* [[Числа Каталана]] ==Примечания==

Если a — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда (4.3) имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться предыдущей леммой при <tex>a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}<references /tex>

<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n= Источники информации == * [https://www.mccme.ru/free-\alpha}{n+1}<books/lando/tex>lando-genfunc.pdf Ландо С.А., Лекции о производящих функциях, 2007 год]

Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex>, [[Категория: Дискретная математика и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика]]