74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
<br>
Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>\epsilon>0</tex> существует такой номер N, что для всех n > N и всех положительных m
<br>
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m)\ln A + n\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\epsilon</tex>,
<br>
или
<br>
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\epsilon</tex>.
<br>
Перепишем отношение <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
<br>
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+\alpha_1 n^{-1}+...+\alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1}+...+\beta_k n^{-k}}=Af(\frac{1}{n})</tex>,
<br>
где
<br>
<tex>f(x)=\frac{1+\alpha_1 x+...+\alpha_k x^k}{1+\beta_1 x+...+\beta_k x^k}</tex>
<br>
Прологарифмировав (4.7), получаем
<br>
<tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f(\frac{1}{n})</tex>.
<br>
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции f, определенной формулой (4.8), в ряд в точке 0:
<br>
<tex>f(x)=1+(\alpha_1-\beta_1)x+\gamma x^2+...</tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению теоремы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции f имеем <tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\overline{\gamma}x^2+...</tex>. Поэтому для некоторой постоянной C при достаточно маленьком x имеем
}}
