1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Утверждение
|about=свойство 1
|statement=Если <tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_2</tex> '''не [[Натуральные_и_целые_числаНатуральные числа#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D1.81_.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.BCДеление чисел с остатком |делится без остатка]]''' на <tex>p_1</tex>.
|proof=
Натуральными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex>, и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит, <tex>p_2</tex> не делится на <tex>p_1</tex>.
Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.
Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k\,times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f\,times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k\,times f\,times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
}}
|id=th2
|statement=
Ряд <tex>\textstyle \sum_{}^{}frac\dfrac{1}{n}</tex> расходится.
|proof=
<tex>\sum_{n=1}^\infty\fracdfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
}}
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le leqslant k}^{}{(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le leqslant k} \fracdfrac{1}{n}</tex>.
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \le leqslant \fracdfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{np}</tex>==
{{Теорема
|id=th3
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}^{}\fracdfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.
|proof=
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
<tex> \ln(1+x) \le leqslant x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \cdots)} \le leqslant \sum_{}^{} {( \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.Финально: <tex> \sum_{}^{} \fracdfrac{1}{p} \ge geqslant \sum_{}^{} {[\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots) - \fracdfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
}}
==См. также==
* [[Натуральные и целые числа]]
* [[Основная теорема арифметики]]
* [[Теоремы о простых числах]]
* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории Теория чисел]]
[[Категория: Классы чисел]]
