Изменения

== Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке ==

Точки минимума и максимума:* Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального минимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0) </tex>.<br />* Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального максимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0) </tex>.

Пусть <tex> f(x) </tex> существует и дифференцируема в <tex> O(x_0) </tex>, и <tex> x_0 </tex> {{- --}} точка локального экстремума. Тогда <tex> f'(x_0) = 0.</tex>

Рассмотрим случай, когда <tex> x_0 </tex> {{- --}} точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.

1) #<tex> \Delta x < 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 </tex>#<tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>

Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, <tex> y(x) = x^3, y'(0) = 0,</tex> но <tex> y(0) </tex> {{- --}} не экстремум.

== Теорема Ролля о нулях производной ==

1) Обе точки граничные, то есть <tex> x_1, x_2 </tex> находятся на концах отрезка. Тогда, так как <tex> f(a) = f(b) </tex>, то <tex> f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] </tex>. Значит, <tex> f(x) </tex> на <tex> [a; b] </tex> {{- --}} константа, то есть <tex>\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0</tex>

== Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной ==

По определению производной, <tex dpi = '150'> g'(x_1) = \frac{g(x_1 + \Delta x) - g(x_1)}{\Delta x} </tex>

Функция <tex> g(x) </tex> {{- --}} дифференцируема, а значит, также и непрерывна на <tex> [x_1, x_2] </tex>, поэтому на этом отрезке существуют минимальное и максимальное значения функции. Из двух предыдущих неравенств следует, что минимальное значение достигается не в граничной точке.

Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex> и дифференцируема на <tex> (a; b) </tex>. Тогда <tex> \exists c \in (a; b): </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{b - a} </tex> <tex> = f'(c) </tex>|proof=Рассмотрим вспомогательную функцию <tex> g(x) = (f(x) - f(a)) - k(x - a), k = </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</tex>. Заметим, что <tex> g(a) = g(b) = 0 </tex>, значит, по теореме Ролля, <tex> \exists c \in (a; b): g'(c) = 0 </tex>. Но <tex> g'(x) = f'(x) - k </tex>, значит, <tex> f'(c) = k = </tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(b) - f(a)}{b - a} </tex>}} == Формула конечных приращений Коши == {{Теорема|author=Коши|statement=Пусть <tex> f, g </tex> непрерывны на <tex> [a; b] </tex> и дифференцируемы на <tex> (a; b) </tex>, <tex> g'(x) \ne 0\ \forall x \in (a; b)</tex>. Тогда <tex> \exists c \in (a; b): </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} </tex>.|proof=Для начала, докажем, что дробь в левой части равенства определена: по теореме Лагранжа, <tex> g(b) - g(a) = g'(d)(b - a) </tex> для некоторого <tex>d</tex>, по условию, правая часть не равна нулю, значит, <tex>g(b) - g(a) \ne 0</tex>. Рассмотрим вспомогательную функцию <tex> F(x) = f(x) - f(a) - k(g(x) - g(a)), k = </tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} </tex>. <tex> F(a) = F(b) = 0 </tex>, значит, по теореме Ролля, <tex> \exists c \in (a; b): F'(c) = 0 </tex>. Но <tex> F'(x) = f'(x) - kg'(x) </tex>, значит <tex> f'(c) = kg'(c) </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f'(c)}{g'(c)} = k = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} </tex>}} Замечание: при <tex>g(x) = x</tex> получаем частный случай формулы Коши {{---}} формулу Лагранжа. == Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей == Из формулы Коши можно получить раскрытие неопределенностей вида <tex> \frac{0}{0} </tex>, <tex> \frac{\infty}{\infty} </tex>(в числителе и знаменателе дроби получаются нулевые или бесконечные значения). Это правило называют '''правилом Лопиталя''': {{Теорема|author=правило Лопиталя|statement=Если при <tex>x \rightarrow a</tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} </tex>, то <tex dpi = '150'> \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} </tex>

потом допилюДоопределим по непрерывности значения функций в точке <tex> a </tex>: <tex> f(a) = g(a) = 0 </tex>. По формуле Коши для малого отрезка <tex> [a; x] </tex> выполняется равенство <tex dpi = '150'> \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(x)}{g'(x)} </tex>. Подставляя туда <tex> f(a), g(a) </tex>, получаем требуемое равенство. Случай с неопределенностью вида <tex> \frac{\infty}{\infty} </tex> <s>доказывается аналогично.</s>Докажем теорему для неопределённостей вида <math>\left(\frac{\infty}{\infty}\right)</math>. Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен <math>A</math>. Тогда, при стремлении <math>x</math> к <math>a</math> справа, это отношение можно записать как <math>A+\alpha</math>, где <math>\alpha</math> — [[O-большое и o-малое|O]](1). Запишем это условие:: <math>\forall\varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\le x-a<\delta_{1}\Rightarrow \left| \alpha(x)\right| <\varepsilon_{1})</math>. Зафиксируем <math>t</math> из отрезка <math>[a,\;a+\delta_1]</math> и применим [[теорема Коши о среднем значении|теорему Коши]] ко всем <math>x</math> из отрезка <math>[a,\;t]</math>:: <math>\forall x\in [a;t]\ \exists c\in [a;\;x]\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>, что можно привести к следующему виду:: <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>. Для <math>x</math>, достаточно близких к <math>a</math>, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как <math>f(t)</math> и <math>g(t)</math> — константы, а <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен <math>1+\beta</math>, где <math>\beta</math> — бесконечно малая функция при стремлении <math>x</math> к <math>a</math> справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение <math>\varepsilon</math>, что и в определении для <math>\alpha</math>:: <math>\forall \varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{2}>0\ : \forall x(0\le x-a<\delta_{2}\Rightarrow \left| \beta(x) \right| <\varepsilon_{1})</math>. Получили, что отношение функций представимо в виде <math>(1+\beta)(A+\alpha)</math>, и <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}</math>. По любому данному <math>\varepsilon</math> можно найти такое <math>\varepsilon_{1}</math>, чтобы модуль разности отношения функций и <math>A</math> был меньше <math>\varepsilon</math>, значит, предел отношения функций действительно равен <math>A</math>. Если же предел <math>A</math> бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то: <math>\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\le x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M)</math>. В определении <math>\beta</math> будем брать <math>\varepsilon_{1} < \frac{1}{2}</math>; первый множитель правой части будет больше 1/2 при <math>x</math>, достаточно близких к <math>a</math>, а тогда <math>\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty</math>.