689
правок
Изменения
+теорема Коши
= Формула конечных приращений Лагранжа =
{{Теорема
|author=
Но <tex> g'(x) = f'(x) - k </tex>, значит, <tex> f'(c) = k = </tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(b) - f(a)}{b - a} </tex>
}}
= Формула конечных приращений Коши =
{{Теорема
|author=
Коши
|statement=
Пусть <tex> f, g </tex> непрерывны на <tex> [a; b] </tex> и дифференцируемы на <tex> (a; b) </tex>, <tex> g'(x) \ne 0\ \forall x \in (a; b)</tex>. Тогда <tex> \exists c \in (a; b): </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} </tex>.
|proof=
Для начала, докажем, что дробь в левой части равенства определена: по теореме Лагранжа, <tex> g(b) - g(a) = g'(d)(b - a) </tex> для некоторого d, по условию, правая часть не равна нулю, значит, <tex>g(b) - g(a) \ne 0</tex>.
Рассмотрим вспомогательную функцию <tex> F(x) = f(x) - f(a) - k(g(x) - g(a)), k = </tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} </tex>.
<tex> F(a) = F(b) = 0 </tex>, значит, по теореме Ролля, <tex> \exists c \in (a; b): F'(c) = 0 </tex>.
Но <tex> F'(x) = f'(x) - kg'(x) </tex>, значит
<tex> f'(c) = kg'(c) </tex>
<tex dpi = '150'> \frac{f'(c)}{g'(c)} = k = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} </tex>
}}
