689
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex dpi = '150'> \frac{f'(c)}{g'(c)} = k = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} </tex>
}}
Замечание: при g(x) = x получаем частный случай формулы Коши - формулу Лагранжа.
= Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей =
Из формулы Коши можно получить раскрытие неопределенностей вида <tex> \frac{0}{0} </tex>, <tex> \frac{\infty}{\infty} </tex>(в числителе и знаменателе дроби получаются нулевые или бесконечные значения). Это правило называют '''правилом Лопиталя''':
{{Теорема
|author=
правило Лопиталя
|statement=
Если при <tex>x \rightarrow a</tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} </tex>, то <tex dpi = '150'> \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} </tex>
|proof=
Доопределим по непрерывности значения функций в точке <tex> a </tex>: <tex> f(a) = g(a) = 0 </tex>.
По формуле Коши для малого отрезка <tex> [a; x] </tex> выполняется равенство <tex dpi = '150'> \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(x)}{g'(x)} </tex>.
Подставляя туда <tex> f(a), g(a) </tex>, получаем требуемое равенство.
Случай с неопределенностью вида <tex> \frac{\infty}{\infty} </tex> доказывается аналогично.
}}
