1632
правки
Изменения
м
Выражение, заключённое в скобки, называется ''группой''. Скобки захватывают текст, сопоставленный регулярным выражением внтури нумерованной группы, который может быть повторно использован с помощью обратной ссылки с указанием номера группы.
Порядок нумерации группПример: сначала внешняя, потом вложенные <tex>aba(в порядке [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]ca)ba.==Применение==С помощью обратных ссылок можно составить регулярные выражения для языка тандемных повторов и других языков\, где требуется «запоминать» части входящих в язык слов</tex> В данном регулярном выражении представлена одна группа {{---}} <tex>(ca).</tex>
Регулярные Каждой группе соответствует порядковый номер. Нумерация идёт слева направо: номеру группы соответствует порядковый номер открывающей круглой скобки этой группы в тексте регулярного выражения в языках программирования зачастую поддерживают обратные ссылки. На практике их можно использовать, например, для парсинга html-выражений (поиск подстрокисключая случаи, содержащихся в определённых тегахкогда скобки являются частью синтаксической конструкции).==Примеры==* Запишем [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярное выражение]] для языка тандемных повторов над алфавитом <tex>\Sigma=\{0,1\}</tex>:
:где «<tex>\backslash</tex>» – символ обратной ссылки, который действует на первую группу. {{Определение|id=referencedef|definition='''Обратная ссылка <tex>\backslash 1</tex> показывает, что после группы <tex>1</tex> {{---}} <tex>''' ((0|1англ. ''backreference'')^∗)</tex> {{---}} должен быть описан тот же текстмеханизм повторного использования групп или [[Основные определения, что содержится в нейсвязанные со строками|слов]] группы. }}
:Данный язык не является регулярным, однако его можно представить с помощью регулярных выражений с использованием обратных ссылок.* Выведем регулярное выражение для языка, состоящего из палиндромов фиксированной длины Для повторного использования '''слова''' группы используется обозначение <tex>\backslash n=2\cdot m\,</tex> или <tex>\,n=2\cdot m+1</tex>:# для чётного <tex>n</tex>: <tex>\;(.)(.)(.)...(.)\backslash m...\backslash 3\backslash 2\backslash 1;</tex># для нечётного где <tex>n</tex>: <tex>\;(.)({{---}} номер группы.)(.)...(.).\backslash m...\backslash 3\backslash 2\backslash 1,\;</tex>
* Запишем регулярное выражение для языка Для повторного использования '''регулярного выражения''' группы используется обозначение <tex>L=b^kab^kab^ka(?n),\,</tex> где <tex>n</tex> {{---}} номер группы. Использование круглых скобок обусловленно тем, что <tex>?,</tex>как управляющий символ, уже используется. Данный язык В данном случае круглые скобки следует воспринимать как общепринятое '''условное обозначение''' обратной ссылки; запись <tex>(?n)</tex> не является ни регулярнымзадаёт группу. Например, ни контекстно-свободным в выражении <tex>(aba)(?1)(caba)(?2)\;</tex> ссылке <tex>(?2)</tex> будет соответствовать <tex>(по [[Лемма о разрастании для КС-грамматик|лемме о разрастании]]caba), но также легко представим с помощью обратных ссылок:\,</tex> а не <tex>(?1).</tex>
:<tex>L=(b\{b\}^*a)\backslash 1\backslash 1</tex>
* Язык <tex>L=a^nb^nОбратите внимание,\что символы круглых скобок и обратной косой черты являются управляющими. Чтобы использовать их непосредственно как часть слова,n>0\,<их нужно [https://ru.wikipedia.org/wiki/tex> можно представить при помощи обратных ссылок:Экранирование_символов экранировать].
:<tex>L=(aПример экранирования (?1в данном случае в качестве символа экранирования используется символ обратной косой черты)?b),</tex> :где «<tex>?\backslash 1</tex>» – {{---}} обратная ссылкана первую группу, осуществляющая рекурсивный вызов первой группы. Следущий за ссылкой знак вопроса обозначает использование группы <tex>0</tex> или <tex>\backslash\backslash 1</tex> раз{{---}} слово, то есть осуществление рекурсивного вызова или его окончаниесостоящее из символа обратной косой черты и единицы.
По определению Любую контекстно-свободного языкасвободную грамматику можно привести к [[Нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]], любой КС-язык реализуется с помощью продукций нескольких видов; для каждого из них покажемследовательно, достаточно доказать, что его грамматику, заданную в такой форме, можно реализовать преобразовать в регулярное выражение с использованием регулярных выражений обратными ссылками. Рассмотрим правила, которые могут содержаться в такой грамматике: <tex>A\rightarrow BC\\A\rightarrow a\\S\rightarrow\varepsilon</tex> Представим каждое из них в виде регулярного выражения с обратными ссылками.
Рассмотрим один из такихИспользуя ссылки на регулярные выражения, соответствующие нетерминалам <tex>B</tex> и <tex>C</tex>, можно представить первое правило:
Очевидно, что эквивалентным будет выражение <tex>((?B)\,(?C)\,|\,(?C)\,(?D))\,</tex>, где <tex>B, C, D</tex> {{---}} группы.Второе и третье правила не требуют использования обратных ссылок:
Аналогично с КС-языком, одна из продукций которого представлена в виде <tex>A\rightarrow a\leftrightarrow A\rightarrow (a);\\S\rightarrow\varepsilon\leftrightarrow S\rightarrow ()...,\,</tex> например, регулярное выражение для языка:
будет выглядеть так: Регулярное выражение для данной КС-грамматики соответствует нетерминалу <tex>((b\S,|\,c)\,(?1)?).</tex>однако в нём могут встречаться ссылки на внешние {{---}} отличные от <tex>S</tex> {{---}} группы. Будем обрабатывать такие ссылки, используя метод [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|левостороннего вывода]]. При обработке очередной ссылки:# если эта ссылка встречается впервые, вместо неё подставим соответствующее регулярное выражение и запомним номер его группы в текущем регулярном выражении;# иначе вместо этой ссылки подставим ссылку на соответствующую группу в текущем регулярном выражении.
То есть правила вида <tex>A\rightarrow BCD...\,</tex> реализуются при помощи ссылок на соответствующие группы, а для правил вида <tex>A\rightarrow A...\,</tex> используется обратная ссылка на ту же самую группу, для которой создаётся правило. При наличии нескольких правил в регулярном выражении пишется логическое «или».
Таким образом, регулярные выражения с обратными ссылками имеют бо́льшую мощность по сравнению с обычными. С их помощью реализуются как регулярные языки, так и контекстно-свободные, а также некоторые [[Иерархия Хомского формальных грамматик|контестно-зависимые]]После соответствующих замен регулярное выражение для <tex>S</tex> будет искомым.
rollbackEdits.php mass rollback
==Базовые определения==
{{Определение
|id=maindefgroupdef|definition='''Регулярные выражения с обратными ссылкамиГруппа''' (англ. ''regex with backreferencescapture group'') {{---}} одна из разновидностей регулярных выражений, дающая возможность использовать в них слова, принадлежащие некоторой группе (англчасть [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярного выражения]]. ''capture group'')Общепринятое условное обозначение группы {{---}} круглые скобки.
}}
Пример:<tex>L=(ab(0|1cd)^∗)(ef).</tex> Группа <tex>№1</tex> {{---}} <tex>(ab(cd)),\,</tex> группа <tex>№2</tex> {{---}} <tex>(cd),\backslash 1,</tex> группа <tex>№3</tex> {{---}} <tex>(ef)</tex>
Пример использования:где «<tex>((1\,|\,0)^*)\backslash 1.\,</tex>» – любой одиночный символДанное регулярное выражение будет задавать язык тандемных повторов. Несмотря на то, что он не является [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярным]], его можно представить с помощью механизма обратных ссылок.
{{Определение
|id=maindef
|definition='''Регулярные выражения с обратными ссылками''' (англ. ''regex with backreferences'') {{---}} регулярные выражения, использующие механизм обратных ссылок.
}}
==Примеры==
# Регулярное выражение <tex>(aba?)c(?1)\,</tex> породит язык <tex>L=\{abcab,abacab,abcaba,abacaba\}.\;</tex> Для сравнения, запишем эквивалентное регулярное выражение без использования механизма обратных ссылок: <tex>(aba?)c(aba?).</tex>
# <tex>(a^*)\backslash 1.\,</tex> Данное регулярное выражение будет допускать только слова, в которых количество букв <tex>a</tex> чётно.
# Выведем регулярное выражение для языка, состоящего из палиндромов фиксированной длины <tex>n=2\cdot m\,</tex> или <tex>\,n=2\cdot m+1</tex> над алфавитом <tex>\Sigma=\{0,1\}</tex>:
#* для чётного <tex>n</tex>: <tex>\;\underbrace{(0\,|\,1)(0\,|\,1)(0\,|\,1)\dotsc(0\,|\,1)}_{m}\,\backslash m\dotsc\backslash 3\backslash 2\backslash 1;</tex>
#* для нечётного <tex>n</tex>: <tex>\;\underbrace{(0\,|\,1)(0\,|\,1)(0\,|\,1)\dotsc(0\,|\,1)}_{m}\,(0\,|\,1)\backslash m\dotsc\backslash 3\backslash 2\backslash 1,\;</tex>
# Запишем выражение для языка <tex>L=b^kab^kab^ka,\,k>0.\,</tex> Данный язык не является ни регулярным, ни контекстно-свободным (по [[Лемма о разрастании для КС-грамматик|лемме о разрастании]]), то есть является [[Иерархия Хомского формальных грамматик|контекстно-зависимым]], но также легко представим с помощью обратных ссылок:
#: <tex>L=(bb^*a)\backslash 1\backslash 1</tex>.
# Язык <tex>L=a^nb^n,\,n>0\,</tex> можно представить при помощи обратных ссылок:
#: <tex>L=(a(?1)?b).</tex>
#: Следущий за ссылкой <tex>(?1)</tex> знак вопроса обозначает использование группы <tex>0</tex> или <tex>1</tex> раз, то есть осуществление рекурсивного вызова или его окончание.
#: <tex>(?1)</tex> ссылается на первую группу {{---}} <tex>(a(?1)?b)</tex>, что равносильно рекурсивной зависимости:
#:::: <tex>(a(?1)?b)=</tex>
#::: <tex>=(a(a(?1)?b)?b)=</tex>
#:: <tex>=(a(a(a(?1)?b)?b)?b)=</tex>
#: <tex>=(a(a(a(a(?1)?b)?b)?b)?b)=\dotsc</tex>
#: Очевидно, что все слова из языка <tex>L</tex> удовлетворяют данному регулярному выражению.
==Теорема о КС-языках==
{{Теорема
|statement=С помощью механизма обратных ссылок можно представить любой [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободный язык]].
|proof=
<tex>SA\rightarrow A\BC\leftrightarrow A\rightarrow BC((?n_B)\,(?n_C)),\A\rightarrow CD,</tex> где <tex>(?n_B)</tex> и <tex>(?n_C)</tex> соответствуют нетерминалам <tex>B</tex> и <tex>C</tex>;
Если какому-то нетерминалу <tex>S\rightarrow A</tex> соответствуют несколько регулярных выражений <tex>r_1, r_2, \\dotsc, r_n</tex>, заменить их на одно: <tex>A=(r_1\rightarrow \varepsilon\\A,|\rightarrow BA,r_2\,|\B,\rightarrow bdotsc\,|\B,r_n)\rightarrow c,</tex>(очевидно, что оно также будет соответствовать этому нетерминалу).
}}
===Пример преобразования===
Рассмотрим следующую КС-грамматику:
<tex>S\rightarrow cA\\S\rightarrow dA\\S\rightarrow cB\\S\rightarrow eB\\A\rightarrow a\\B\rightarrow b</tex>
# Приведём её к нормальной форме Хомского:
#: <tex>S\rightarrow CA\\S\rightarrow DA\\S\rightarrow CB\\S\rightarrow EB\\A\rightarrow a\\B\rightarrow b\\C\rightarrow c\\D\rightarrow d\\E\rightarrow e</tex>
# Каждому нетерминалу поставим в соответствие свой номер:
#: <tex>S\leftrightarrow 1, A\leftrightarrow 2, B\leftrightarrow 3, C\leftrightarrow 4, D\leftrightarrow 5, E\leftrightarrow 6</tex>
# Каждое правило представим в виде регулярного выражения с обратными ссылками:
#: <tex>S\rightarrow ((?4)(?2))\\S\rightarrow ((?5)(?2))\\S\rightarrow ((?4)(?3))\\S\rightarrow ((?6)(?3))\\A\rightarrow (a)\\B\rightarrow (b)\\C\rightarrow (c)\\D\rightarrow (d)\\E\rightarrow (e)</tex>
# Объединим регулярные выражения, соответствующие одинаковым нетерминалам:
#: <tex>S\rightarrow (((?4)(?2))\,|\,((?5)(?2))\,|\,((?4)(?3))\,|\,((?6)(?3)))\\A\rightarrow (a)\\B\rightarrow (b)\\C\rightarrow (c)\\D\rightarrow (d)\\E\rightarrow (e)</tex>
# Избавимся от внешних ссылок в регулярном выражении для <tex>S</tex>:
{| class="wikitable" style="display: inline-table; white-space: nowrap; text-align: center;"
|+Пошаговый вывод
! № || Текущее регулярное выражение
|-
| 1. || <tex>(((\underline{\textbf{?4}})(\underline{?2}))\,|\,((\underline{?5})(\underline{?2}))\,|\,((\underline{?4})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,</tex>
|-
| 2. || <tex>(((c)(\underline{\textbf{?2}}))\,|\,((\underline{?5})(\underline{?2}))\,|\,((\underline{?4})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,</tex>
|-
| 3. || <tex>(((c)(a))\,|\,((\underline{\textbf{?5}})(\underline{?2}))\,|\,((\underline{?4})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,</tex>
|-
| 4. || <tex>(((c)(a))\,|\,((d)(\underline{\textbf{?2}}))\,|\,((\underline{?4})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,</tex>
|-
| 5. || <tex>(((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((\underline{\textbf{?4}})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,</tex>
|-
| 6. || <tex>(((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(\underline{\textbf{?3}}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,</tex>
|-
| 7. || <tex>(((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(b))\,|\,((\underline{\textbf{?6}})(\underline{?3})))\,</tex>
|-
| 8. || <tex>(((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(b))\,|\,((e)(\underline{\textbf{?3}})))\,</tex>
|-
| 9. || <tex>(((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(b))\,|\,((e)(?8)))\,</tex>
|}
{| class="wikitable" style="display: inline-table; white-space: nowrap; text-align: center;"
|+№ группы в <tex>S</tex>
! <tex>S</tex> || <tex>A</tex> || <tex>B</tex> || <tex>C</tex> || <tex>D</tex> || <tex>E</tex>
|-
| 1 || || || style="background: #1b5de2; color: white;" | || ||
|-
| 1 || style="background: #1b5de2; color: white;" | || || <b>3</b> || ||
|-
| 1 || <b>4</b> || || 3 || style="background: #1b5de2; color: white;" | ||
|-
| 1 || style="background: #1b5de2; color: white;" | 4 || || 3 || <b>6</b> ||
|-
| 1 || 4 || || style="background: #1b5de2; color: white;" | 3 || 6 ||
|-
| 1 || 4 || style="background: #1b5de2; color: white;" | || 3 || 6 ||
|-
| 1 || 4 || <b>8</b> || 3 || 6 || style="background: #1b5de2; color: white;" |
|-
| 1 || 4 || style="background: #1b5de2; color: white;" | 8 || 3 || 6 || <b>10</b>
|-
| 1 || 4 || 8 || 3 || 6 || 10
|}
'''Напоминание''': круглые скобки в записи обратной ссылки являются синтаксической конструкцией и не задают группу.
Таким образом, регулярное выражение для данной грамматики будет выглядеть так: <tex>(((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(b))\,|\,((e)(?8))).</tex>
Рассмотрим другой пример:
<tex>S\rightarrow\varepsilon\\S\rightarrow (S)S\\S\rightarrow S(S)</tex>
# Приведём её к нормальной форме Хомского:
#: <tex>S\rightarrow\varepsilon\\S\rightarrow AS\\S\rightarrow SA\\A\rightarrow OB\\B\rightarrow SC\\O\rightarrow (\\C\rightarrow\; )</tex>
# Каждому нетерминалу поставим в соответствие свой номер:
#: <tex>S\leftrightarrow 1, A\leftrightarrow 2, B\leftrightarrow 3, O\leftrightarrow 4, C\leftrightarrow 5</tex>
# Каждое правило представим в виде регулярного выражения с обратными ссылками:
#: <tex>S\rightarrow ()\\S\rightarrow ((?2)(?1))\\S\rightarrow ((?1)(?2))\\A\rightarrow ((?4)(?3))\\B\rightarrow ((?1)(?5))\\O\rightarrow (\backslash (\,)\\C\rightarrow (\backslash )\,)</tex>
# Объединим регулярные выражения, соответствующие одинаковым нетерминалам:
#: <tex>S\rightarrow (()\,|\,((?2)(?1))\,|\,((?1)(?2)))\\A\rightarrow ((?4)(?3))\\B\rightarrow ((?1)(?5))\\O\rightarrow (\backslash (\,)\\C\rightarrow (\backslash )\,)</tex>
# Избавимся от внешних ссылок в регулярном выражении для <tex>S</tex>:
{| class="wikitable" style="display: inline-table; white-space: nowrap; text-align: center;"
|+Пошаговый вывод
! № || Текущее регулярное выражение
|-
| 1. || <tex>(()\,|\,((\underline{\textbf{?2}})(?1))\,|\,((?1)(\underline{?2})))</tex>
|-
| 2. || <tex>(()\,|\,(((\underline{\textbf{?4}})(\underline{?3}))(?1))\,|\,((?1)(\underline{?2})))</tex>
|-
| 3. || <tex>(()\,|\,(((\backslash (\,)(\underline{\textbf{?3}}))(?1))\,|\,((?1)(\underline{?2})))</tex>
|-
| 4. || <tex>(()\,|\,(((\backslash (\,)((?1)(\underline{\textbf{?5}})))(?1))\,|\,((?1)(\underline{?2})))</tex>
|-
| 5. || <tex>(()\,|\,(((\backslash (\,)((?1)(\backslash )\,)))(?1))\,|\,((?1)(\underline{\textbf{?2}})))</tex>
|-
| 6. || <tex>(()\,|\,(((\backslash (\,)((?1)(\backslash )\,)))(?1))\,|\,((?1)(?4)))</tex>
|}
{| class="wikitable" style="display: inline-table; white-space: nowrap; text-align: center;"
|+№ группы в <tex>S</tex>
! <tex>S</tex> || <tex>A</tex> || <tex>B</tex> || <tex>O</tex> || <tex>C</tex>
|-
| 1 || style="background: #1b5de2; color: white;" | || || ||
|-
| 1 || <b>4</b> || || style="background: #1b5de2; color: white;" | ||
|-
|-
| 1 || 4 || style="background: #1b5de2; color: white;" | || <b>5</b> ||
|-
| 1 || 4 || <b>6</b> || 5 || style="background: #1b5de2; color: white;" |
|-
| 1 || style="background: #1b5de2; color: white;" | 4 || 6 || 5 || <b>7</b>
|-
| 1 || 4 || 6 || 5 || 7
|}
Таким образом, регулярное выражение для данной грамматики будет выглядеть так: <tex>(()\,|\,(((\backslash (\,)((?1)(\backslash )\,)))(?1))\,|\,((?1)(?4))).</tex>
==Применение==
Регулярные выражения с обратными ссылками имеют бо́льшую мощность по сравнению с обычными. С их помощью реализуются как регулярные языки, так и контекстно-свободные грамматики, а также некоторые контекстно-зависимые (например, язык тандемных повторов).
Регулярные выражения в языках программирования зачастую поддерживают обратные ссылки. На практике их можно использовать, например, для парсинга <tex>html</tex>-выражений (поиск подстрок, содержащихся в определённых тегах).
==См. также==
* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]
* [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора]]
* [[Нормальная форма Хомского]]
* [[Иерархия Хомского формальных грамматик]]
* [https://regexr.com Визуализатор регулярных выражений]
* [https://habr.com/post/171667/ habr.com {{---}} Истинное могущество регулярных выражений]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
