689
правок
Изменения
Пофиксил опечатки и прочую бредовню.
<tex>o((x - x_0)^n) = \alpha(x) (x-x_0)^n</tex>, где <tex>\alpha(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>.
|proof=
<tex>r_0(x) = f_0(x) - T_0(x)</tex>
<tex dpi=150>\frac{r_n(x)}{T_n(x)} \sim \frac{r_n^{(1)}(x)}{T_n^{(1)}(x)} \sim \cdots \sim \frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} = \frac00</tex>.
Последнюю неопределённость уже не раскрыть по правилу Лопиталя, так как следующая производная
<tex dpi=150>\frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} =</tex>(с точностью до константы(что за бред???)) <tex dpi=150>\frac{r_n^{(n - 1)}(x) - r_n^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0} \xrightarrow[x \to x_0]{} r_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) - T_n^{(n)}(x_0) = 0</tex>
Это отношение приращения функции к приращению аргумента {{---}} по определению проиизводная.
}}
<tex dpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f^{(k + 1)}(t) \frac1{k!} (x - t)^k = </tex>
(суммы сокращаются) <tex dpi=150>= -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!} (x - t)^n</tex>
Рассмотрим дробь
<tex dpi=150>\frac{g(x)- g(x_0)}{\phi(x) - \phi(x_0)} =</tex> (применим к этой дроби формулу Коши для приращений) <tex dpi=150>\frac{g'(c_x)}{\phi'(c_x)} = </tex>
<tex dpi=150>= \frac{f^{(n + 1)}(c_x) (x - c_x)^n}{(n + 1)! (x - c_x)^n} = \frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!}</tex>
Но, с другой стороны, <tex dpi=150>\frac{g(x) - g(x_0)}{\phi(x) - \phi(x_0)} = \frac{-r_n(x)}{-(x - x_0)^{n + 1}}</tex>
Тогда возможны два случая:
Тогда <tex>\mathrm{sign}(f(x) - f(x_0)) = \mathrm{sign}(f^{(p)}(x_0))</tex>
Если в первый раз производная обнулилась на чётном числе, то если эта производная <tex> f^{(p)}(x_0) </tex> больше <tex>0</tex>, то в <tex>x_0</tex> минимум, если меньше {{---}} то максимум.
== Разложение ряда элементарных функций по формуле Тейлора ==
