74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>ε > 0</tex> существует такой номер <tex>N</tex>, что для всех <tex>n > N</tex> и всех положительных <tex>m</tex>
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m)\ln A + n\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n| < ε</tex>
или
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln{(n+m)} +(\alpha_1-\beta_1)\ln n| < ε (*)</tex>
Перепишем отношение <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+\alpha_1 n^{-1}+...\cdots +\alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1}+...\cdots +\beta_k n^{-k}}=Af(\frac{1}{n})</tex>,
где
<tex>f(x)=\frac{1+\alpha_1 x+...\cdots +\alpha_k x^k}{1+\beta_1 x+...\cdots +\beta_k x^k}</tex>
Прологарифмировав отношение <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, получаем
<tex>f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1)x + \gamma x^2 + \cdots</tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем
<tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\tilde{\gamma}x^2+...\cdots</tex>
Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)x|<Cx^2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>∀ n>N</tex>
<tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}|<C \frac{1}{(n+m)^2}</tex>.
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>(*) </tex> можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>:
<tex>| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {(n+m)} - \ln n)| =</tex>
<tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \cdots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - </tex>
<tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {(n+m)} - \ln n)| \le</tex>
<tex>\le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| + \cdots + </tex>
<tex>\cdots</tex> <tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \le</tex>
<tex>\le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \cdots + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |</tex>.
Поскольку ряд <tex>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\frac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,
(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n - 1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|(\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - (- \ln {(n+m)} + \ln n)| = | \ln {(1 - \frac{1}{n+m})} - \ln {(1 - \frac{1}{n})}| < |\ln {(1 - \frac{1}{n})}| < C \frac{1}{n}</tex>.
}}
'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы <tex>c</tex>. Действительно, умножив последовательность <tex>a_n</tex> на произвольную постоянную <tex>d > 0</tex>, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа <tex>c</tex> для которой увеличивается в <tex>d</tex> раз
== Примеры ==
уже известна, например, при <tex>\alpha=−1</tex>. Согласно определению функции <tex>(1-s)^{\alpha}</tex> имеем
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\frac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \frac{\alpha}{1!} \frac{s}{a} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\frac{s}{a})^2} - \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\frac{s}{a})^3+...\cdots)</tex>.
Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1)...\cdots (\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}</tex>
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n-\alpha}{n+1}</tex>
