74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
<tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - </tex>
<tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {(n+m)} - \ln n)| \leleqslant</tex>
<tex>\le leqslant | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| +</tex>
<tex>\ldots</tex>
<tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \leleqslant</tex>
<tex>\le leqslant C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |</tex>.
Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\frac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,
