Изменения
Нет описания правки
В дальнейшем будем обозначать <tex>[x^n]A(x)</tex> коэффициент при <tex>x^n</tex> в формальном степенном ряде <tex>A(x)</tex>
{{Задача
|definition = Доказать, что <tex>\sum\limits_{i = 0}^{2n} (-1)^i \cdot (i + 1) \cdot (2n + 1 - i) = n + 1</tex>
Рассмотрим известную нам производящую функцию
<tex>A(x) = \dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \ldots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n</tex> Возводя её в квадрат, по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul | произведения формальных степенных рядов]], получаем <tex>A^2(x) = \dfrac{1}{1 - x} \cdot \dfrac{1}{1 - x} = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n) \cdot (\sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n) = </tex> <tex>= \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n \cdot [x^n]A^2(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n \cdot (\sum\limits_{i = 0}^{n}([x^i ]A(x) \cdot [x^{n - i}]A(x))) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n \cdot (\sum\limits_{i= 0}^{n}(1 \cdot 1))</tex>
