Изменения

|definition = Доказать, что <tex>\sum\limits_{i k = 0}^{2n} (-1)^i k \cdot (i k + 1) \cdot (2n + 1 - ik) = n + 1</tex>

Докажем, что <tex>\sum\limits_{i k = 0}^{2n} (-1)^i k \cdot (i k + 1) \cdot (2n + 1 - ik) = 1 \cdot (2n + 1) - 2 \cdot (2n) + 3 \cdot (2n - 1) + \ldots + (2n + 1) \cdot 1 = n + 1</tex>

Рассмотрим <tex>i</tex>-ое и <tex>2k + 1 - i</tex>-ое слагаемые этой суммы равны. Модуль <tex>i</tex>-ого равен <tex>(i + 1) \cdot (2k + 2 - i)</tex>, а модуль <tex>2k + 1 - i</tex>-ого слагаемого равен <tex>(2k + 1 - i + 1) \cdot (2k + 2 - (2k + 1 - i)) = (2k + 2 - i) \cdot (i + 1)</tex>, то есть слагаемые равны по модулю. Знак <tex>i</tex>-ого слагаемого определяется выражением <tex>(-1)^{2k + 1 - i} = (-1)^{1 - i}</tex>, а знак <tex>2k + 1 - i</tex>-ого {{---}} выражением <tex>(-1)^{2k + 1 - (2k + 1 - i)} = (-1)^i</tex>, то есть эти слагаемые равны по модулю, но противоположны по знаку.

Так как слагаемых всего <tex>2k + 1 - 0 + 1</tex> (то есть их чётное число), и каждое слагаемое входит в сумму дважды с противоположными знаками, <tex>[x^{2k + 1}]C(x) = 0~~~~ \textbf{(1)}</tex>

<tex>[x^{2k}]C(x) = \sum\limits_{i = 0}^{2k}(i + 1) \cdot (-1)^{2k - i} \cdot (2k + 1 - i) = \sum\limits_{i = 0}^{2k}(i + 1) \cdot (-1)^i \cdot (2k + 1 - i) ~~~~ \textbf{(2)}</tex> Учитывая <tex>\textbf{(1)}</tex> и <tex>\textbf{(1)}</tex>, получаем, что  <tex>C(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^{2n} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{2n}(k + 1) \cdot (-1)^k \cdot (2n + 1 - k)</tex>

Подставляя <tex>x^2</tex> вместо <tex>x</tex>, получаем разложение <tex>C(x) = \dfrac{1}{(1 - x^2)^2} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^{2n}</tex> То есть известно два разложения <tex>C(x)</tex> в формальный степенной ряд: <tex>C(x) = \dfrac{1}{(1 - x^2)^2} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^{2n}= \sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^{2n} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{2n}(k + 1) \cdot (-1)^k \cdot (2n + 1 - k)</tex>