74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
<tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n+m}|<C \cfrac{1}{(n+m)^2}</tex>.
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (*\alpha_1 - \beta_1)\ln {(n + m)} + (\alpha_1 - \beta_1) \ln n| < ε </tex> можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>:
<tex>| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {(n+m)} - \ln n)| =</tex>
'''Пример.''' Для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] имеем
<tex>\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4n+2}{n+2}=4\cfrac{n+\fraccfrac{1}{2}}{n+2}</tex>
Поэтому <tex>c_n \sim c 4^n n^{-\fraccfrac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.
'''Пример.''' Найдем асимптотику коэффициентов для функции <tex>(a-s)^{\alpha}</tex>, где <tex>\alpha</tex> вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>
Поэтому <tex>a_n \sim c a^{-n} n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\fraccfrac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c 4^n n^{-\fraccfrac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].
== См. также ==
