74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
|id=lemma1.
|statement=
Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots</tex> положительных чисел такова, что <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{n^k+\alpha_1 \cdot n^{k-1}+ \ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 \cdot n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cAc \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.
|proof=
Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\cdot \ln n )}</tex>.
Для доказательства существования предела применим критерий Коши<ref>[http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0509.html Критерий Коши]</ref>, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>.
Перепишем отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{1+\alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1+\beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=Af(\cfrac{1}{n})</tex>,
где
<tex>f(x)=\cfrac{1+\alpha_1 \cdot x + \ldots + \alpha_k \cdot x^k}{1+\beta_1 \cdot x + \ldots + \beta_k \cdot x^k}</tex>
Прологарифмировав отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, получаем
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0</tex>:
<tex>f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1)\cdot x + \gamma \cdot x^2 + \ldots </tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем
<tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)\cdot x+\tilde{\gamma}\cdot x^2 + \ldots</tex>
Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)\cdot x|<CxC \cdot x^2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>∀ n>N</tex>
<tex>|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n}|<C \cdot \cfrac{1}{n^2}</tex>,
<tex>|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1}|<C \cdot \cfrac{1}{(n+1)^2}</tex>,
<tex>\ldots</tex>
<tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m}|<C \cdot \cfrac{1}{(n+m)^2}</tex>.
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln {(n + m)} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n| < ε </tex> можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>:
<tex>| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\cdot ( \ln {(n+m)} - \ln n)| =</tex>
<tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - </tex>
<tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)\cdot (\ln {(n+m)} - \ln n)| \leqslant</tex>
<tex>\leqslant | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1}| +</tex>
<tex>\ldots</tex>
<tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | \cdot | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \leqslant</tex>
<tex>\leqslant C\cdot (\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | \cdot | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |</tex>.
Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,
<tex>= | \ln {(1 - \cfrac{1}{n+m})} - \ln {(1 - \cfrac{1}{n})}| <</tex>
<tex>< |\ln {(1 - \cfrac{1}{n})}| < C \cdot \cfrac{1}{n}</tex>.
}}
'''Пример.''' Для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] имеем
<tex>\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4n4 \cdot n +2}{n+2}=4\cdot \cfrac{n+\cfrac{1}{2}}{n+2}</tex>
Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\cfrac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.
'''Пример.''' Найдем асимптотику коэффициентов для функции <tex>(a-s)^{\alpha}</tex>, где <tex>\alpha</tex> вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам
уже известна, например, при <tex>\alpha=−1</tex>. Согласно определению функции <tex>(1-s)^{\alpha}</tex> имеем
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot (1-\cfrac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot (1 - \cfrac{\alpha}{1!} \cdot \cfrac{s}{a} + \cfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2!}\cdot {(\cfrac{s}{a})^2} - \cfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (\alpha-2)}{3!}\cdot (\cfrac{s}{a})^3 + \ldots)</tex>.
Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \cdot \cfrac{\alpha\cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n!\cdot {\alpha}^n}</tex>
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s4 \cdot s)^{\cfrac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\cfrac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].
== См. также ==
