Изменения
Нет описания правки
{{Утверждение
|statement=
Пусть в окрестности точки <tex>x_0</tex> функция <tex>f<ztex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема и её <tex>(n + 1)</tex>-я производная интегрируема. Тогда в окрестности точки <tex>x_0</tex> <tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x+-t)^n dt</tex>.
Эта формула называется формулой Тейлора с записью остатка в интегральной форме.
|proof=
Проделаем шаг <tex>n \to n + 1</tex>.
Так как формула верна для <tex>n</tex> то <tex>f</tex> можно записать как <tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x+-t)^n dt</tex>.
Теперь преобразуем интеграл, интегрируя по частям:
