74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>\frac cfrac {1}{x}</tex> равна <tex>\ln {(n + m)} - \ln {n}</tex>, площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>\left| (\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - (- \ln {(n+m)} + \ln n) \right| =</tex>
<tex>= \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| <</tex>
== Примеры ==
'''Пример.''' Рассмотрим производящую функцию для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]
<tex>A(s) = 1 + s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + \ldots </tex>
Второй корень уравнения отбрасывается, так как <tex>\cfrac {1 + \sqrt {1 - 4 \ cdot s}}{2 \cdot s} = \cfrac {1}{s} + \ldots</tex> содержит отрицательные степени s</tex>
Найденная производящая функция позволяет найти явную форму для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]. Согласно <ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 биному Ньютона]</ref>
<tex>a_n = \cfrac {\cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {3}{2} \cdot \ldots \cdot \cfrac {2 \cdot n - 1}{2} \cdot 4^{n + 1}}{2 \cdot (n + 1)!},</tex>
<tex>a_n = \cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} = \cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}</tex>
Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]:
<tex>\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4 \cdot n + 2}{n+2}=4 \cdot \cfrac{ n + \cfrac{1}{2}}{n+2}</tex>
