89
правок
Изменения
Нет описания правки
Пусть нам дана [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности#def_linear.|линейная реккурента]] размера <tex>k</tex>. А именно: <tex>a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + c_2 \cdot a_{n - 2} + \cdots + c_k \cdot a_{n - k}</tex>, а так же заданы <tex>k</tex> первых членов последовательности. Требуется уметь вычислять произвольное <tex>a_n</tex>.
Самый простой способ сделать это {{---}} последовательно считать каждый <tex>a_i</tex>, пока <tex>i</tex> не сравняется с станет равен <tex>n</tex>. Однако этот способ не самый эффективный, ведь он, очевидно, требует <tex>O(n \cdot k)</tex> времени. Хочется уметь как-то быстрее решать эту задачу. Рассмотрим два способа это сделать.
== Умножение матриц (за <tex>O(k^3 \cdot logn)</tex>) ==
== Связь с многочленами (за <tex>O(k^2 \cdot logn)</tex>) ==
Вспомним, что по [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности|теореме о связи рекурренты и многочленов]] наша реккурента эквивалента некому многочлену <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, при это этом <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \cdots - c_k \cdot t^k</tex>. Домножим числитель и знаменатель на <tex>Q(-t)</tex>. Новый знаменатель <tex>R(t) = Q(t) \cdot Q(-t)</tex>. При этом <tex>r_n = \sum\limits_{i = 0}^{n} q_i \cdot q_{n - i} \cdot (-1)^{n - i}</tex>. Нетрудно заметить, что при нечётных <tex>n</tex> коэффициенты <tex>r_n</tex> обращаются в <tex>0</tex>, a <tex>r_0 = 1</tex>.
Отсюда мы получаем, что многочлен <tex>R(t)</tex> имеет вид: <tex>R(t) = 1 + r_2 \cdot t^2 + r_4 \cdot t^4 + \cdots + r_{2k} \cdot t^{2k}</tex>. Однако вспомним о связи с рекуррентой, а именно мы получили, что <tex>a_n = -r_2 \cdot a_{n - 2} - r_4 \cdot a_{n - 4} - \cdots - r_{2k} \cdot a_{n - 2k}</tex>
