Изменения

{{Теорема

|statement=$x_0 \oplus x_1 \oplus \ldots \oplus x_{2m} = \langle \neg x_0, s_1, s_2, \ldots, s_{2m} \rangle$, $s_j = \langle x_0, x_j, x_{j+1}, \ldots, x_{j+m-1}, \neg x_{j+m}, \neg x_{j+m+1}, \ldots, \neg x_{j+2m-1} \rangle$

|proof=

#* При нечетном количестве единиц особенных пар нет, будет снова только ровно $m$ обычных пар, из каждой ровно одна $s_i$ даст единицу. Тогда среди всех $s_i$ будет ровно $m$ единиц, и, подставив их в конечную медиану, вместе с $\neg x_0 = 0$, получим ровно $m$ аргументов, равных $1$. Тогда медиана вернет $0$, чего и должен вернуть $\oplus$ четного числа единиц.

#* При четном количестве у нас найдется особенная пара, а в этих $s_i$ и $\neg s_{i}$ ровно по $m$ самостоятельных единиц, а значит, они обе будут равны $1$, ведь вместе с $x_0 = 1$ среди аргументах медиан будет по $m + 1$ единиц. Тогда всего среди $s_i$ будет $\geqslant m + 1$ $s_i = 1$, значит, конечная медиана вернет $1$, что и нужно при $\oplus$ четного числа единиц.

== См. также ==

* [[Представление функции формулой, полные системы функций]]

* [[Представление функции класса DM с помощью медианы]]

* [[Определение булевой функции]]