Изменения

|definition='''Квантовый алгоритм''' (англ. ''quantum algorithm'') представляет собой классический алгоритм, который задает последовательность унитарных операций ([[Квантовые гейты|гейтов]] (англ. ''quantum gate''), или вентилей) с указанием, над какими именно кубитами<ref>[https://neercru.ifmowikipedia.ruorg/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%8283%D0%BEB1%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D0%B5%D0%B9B8%D1%82%D1%8B гейтовВикипедия {{---}} Кубит], или вентилей</ref> (от англ. ''quantum bit'') с указанием, над какими именно кубитами их надо совершать.

[[Файл:Quantumalgorithm.Paritycheck.png|470px|thumb|right|В виде круга изображён [https://neerc[Квантовые гейты|Hadamard gate]].ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%8B гейт Адамара]]]

Для начала инициализируем начальные <tex>n</tex> кубитов состоянием ноль. Проводим их всех через [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%8B [Квантовые гейты|гейт Адамара(англ. ''Hadamard gate'')]] и получаем все возможные суперпозиции. Суперпозиции передаём в "черный ящик", который реализован в виде вентиля <tex>U_f</tex>. Сам результат опять пропускаем через [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%8B [Квантовые гейты|гейт Адамара]]. В конце измеряем результат, который будет являться искомой <tex>u</tex>.

<tex>\mid -\bigr\rangle = \fracdfrac{1}{\sqrt{2}}(\mid 0\bigr\rangle - \mid 1\bigr\rangle)</tex>

Выразим неизвестную: <tex>\mid 00...0\bigr\rangle\mid -\bigr\rangle\rightarrow\fracdfrac{1}{2^{n/2}} \Leftrightarrow \sum_\limits{x \mathop \in \{0,1\}^n} \mid x\bigr\rangle\mid-\bigr\rangle\rightarrow\fracdfrac{1}{2^{n/2}} \Leftrightarrow \sum_\limits{x \mathop \in \{0,1\}^n} (-1)^{xu}\mid x\bigr\rangle\mid-\bigr\rangle\rightarrow\mid u\bigr\rangle\mid-\bigr\rangle</tex>

'''''Квантовый алгоритм:''''' <tex>O(1)</tex>. Такая сложность достигается благодаря квантовым свойства<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80 квантовым свойстваВикипедия {{---}} Квантовый компьютер]</ref>, а конкретно параллелизму<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%BC параллелизмуВикипедия {{---}} Квантовый параллелизм]</ref>.

[[Файл:Quantumalgorithm.Simonalgorithm.png|470px|thumb|right|В виде круга изображён [https://neerc[Квантовые гейты|Hadamard gate]].ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%8B гейт Адамара]]]

Задача похожа на задачу нахождения [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B5%D1%88[Хеш-%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0#.D0.92.D0.B2.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5 таблица|коллизии]], так как необходимо найти два значения, при которых их выходные значения будет одинаковыми, затем вычислить между ними разницу, которая и будет ответом задачи.

* для решения СЛАУ <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 СЛАУВикипедия {{---}} Система линейных алгебраических уравнений] </ref> необходим препроцессинг на классическом компьютере; * алгоритм может допускать ошибку(возможно, какие-то уравнения не будут линейно независимыми и система не будет иметь решений) с вероятностью <tex> ε < \fracdfrac{1}{4} </tex> при одном цикле прохода алгоритма. Этого можно избежать, если прогнать алгоритм несколько раз, так для <tex>4m</tex> раз, вероятность будет равна: <tex> ε^{4m} < ε^{-m} </tex>. Например, при <tex> m = 10 </tex> вероятность будет <tex>ε^{40} < \fracdfrac{1}{20000} </tex>.

'''Перефразируем задачу:''' у нас есть периодичная функция, для которой необходимо найти её период, путём нахождения [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B5%D1%88[Хеш-%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0#.D0.92.D0.B2.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5 таблица|коллизии]].

Чтобы решить задачу, воспользуемся квантовым преобразованием Фурье<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_Fourier_transform квантовым преобразованием ФурьеWikipedia {{---}} Quantum Fourier transform]</ref>(англ. ''Quantum Fourier transform''; далее '''''QFT'''''). '''''QFT''''' - гейт, который реализует матрицу дискретного преобразования Фурье<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 дискретного преобразования Википедия {{---}} Дискретное преобразование Фурье] </ref> над квантовым состоянием. Идея в следующем: есть периодическая функция с периодом <tex>r</tex>, после '''''QFT''''', получим новую периодическую функцию с периодом <tex>N/r</tex>, где <tex>N</tex> - модуль, с которым мы работаем.

<tex> QFT_N = \fracdfrac{1}{\sqrt{N}}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1

\end{vmatrix}</tex>, где <tex>ω = e^{\fracdfrac{2πi}{N}} </tex>

Так аналогично предыдущему алгоритму, но пользуясь '''''QFT''''', получаем результат <tex>m\fracdfrac{N}{r}</tex>. Выполнив данный алгоритм <tex>n</tex> раз, найдём наибольший общий делитель<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C наибольший Википедия {{---}} Наибольший общий делитель] </ref> от <tex>n</tex> полученных чисел, который, с некоторой вероятностью, будет искомым периодом <tex>r</tex>, при этом вероятность ошибки будет экспоненциально падать с каждой попыткой.

''Примечание:'' Алгоритм нахождения периода используется в алгоритме Шора<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Shor%27s_algorithm алгоритме ШораWikipedia {{---}} Shor's algorithm]</ref>, который позволяет решать задачу [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B8_[Разложение на множители (%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8Fфакторизация)#.D0.A3.D0.BB.D1.83.D1.87.D1.88.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D1.80.D0.B5.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.5Bmath.5DO.28.5Csqrt.7Bn.7D.29.5B.2Fmath.5D |факторизации числа]].