Изменения

Будем получать элементы по порядку: сначала определим, какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы построили префикс длинны <tex> i </tex> : <tex> P = \{a_1, a_2, \ldots, a_i\} </tex>. Будем выбирать элемент <tex> a_{i+1} </tex> из множества всех возможных так, чтобы вероятность выбора элемнта <tex> b \in B </tex>, была пропорциональна числу комбинторных обьектов размера <tex> n </tex> с префиксом <tex> P + b </tex>. Для этого разобъем отрезок натуральных чисел <tex> [1, s] </tex>. где <tex> s </tex> {{---}} число различных комбинаторных объектов с текущим префиксом, на <tex> k </tex> диапазонов так, чтобы размер диапазаона <tex> d_j </tex> был равен числу объектов с префиксом <tex> P + b_j </tex>. С помощью функции для генерации случайного числа получим число <tex> r </tex> в интервале <tex> [1, s] </tex> и добавим к префиксу <tex> P </tex> элемент <tex> b_j </tex> соответствующий диапазону отрезка в которм котором находится полученное число.

Рассмотрим алгоритм получения случайной [[Правильные скобочные последовательности|правильной скобочной последовательности]]. Правильная скобочная пследовательность последовательность состоит из двух типов элементов: открывающей и закрывающей скобок, следовательно <tex> k = 2 </tex>. {{ОпределениеРассмотрим "полуправильные" скобочные последовательности т.е. такие |definition='''Полуправильная скобочная последовательность''' {{---}} скобочная последовательность такая, что всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты.}}Рассмотрим полуправильные скобочные последовательности. Такую последовтеьность можно охарактеризовать двумя числами: <tex> l </tex> — длина скобочной последовательности и <tex> b </tex> — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок). Заметим что любой префикс правильной скобочной последовательности является "полупраильной" полуправильной скобочной последовательностью, и что для любого префикса <tex> P </tex> длины <tex> l </tex> число различных правильных скобочных последовательностей длины <tex> n </tex> равно числу "полуправильных" скобочных последовательностей длины <tex> n-l </tex> с таким же балансом как у <tex> P </tex>.

Научимся считать <tex> D[l][b] </tex> {{---}} число последовательностей длины <tex> l </tex> и баланса <tex> b </tex>). Если <tex> l = 0 </tex>, то ответ понятен сразу: <tex> D[0][0] = 1 </tex>, все остальные <tex> D[0][b] = 0 </tex>. Пусть теперь <tex> l > 0 </tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex> '(' </tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex> (l-1,b-1) </tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(l-1,b+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу:

(считается, что все значения <tex> D[l][b] </tex> при отрицательном <tex>jb</tex> равны нулю). Этот преподсчет можно выполнить за <tex>O(n^2)</tex>.

Итоговая сложность Сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) + </tex> при условии что </tex>D[l][b]<tex> n </tex> известно для любых <tex> l, b \mid l <= n, b <= n </tex>. Преподсчет <tex> D </tex> можно выполнить динамически за <tex> O(n^2) </tex> на преподсчет.

На каждом шаге префиксом считаем текущее разбиение. Оно характеризуется двумя значениями: <tex> l </tex> — число добавленных элементов и <tex> m </tex> — число подмножеств для которых определен последний элемент. Заметим, что количество разбиений на подмножества с заднным заданным префиксом равно числу способов разбить еще не добавленные элементы на еще не законченные подмножества так, чтобы они оказались лексикографически упорядочены, то есть равно числу разбиений <tex> n-l </tex> элементов на <tex> k-m </tex> непустых подмножеств, что равно <tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l}{k-m} </tex> (т.е [[Числа Стирлинга второго рода|числу Стирлинга второго рода]]). Таким образом из префикса <tex> P </tex> мы можем получить следующий префикс <tex> P' </tex> двумя способами:

Так как на каждом шаге интервал случайных чисел разделяется только на на два диапазона, а всего шагов {{---}} <tex> n </tex> то итоговая сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) + </tex> . Сложность преподсчета чисел Стирлинга второго рода {{---}} <tex> O(n^2) </tex> на преподсчет чисел Стирлинга второго рода (если преподсчитать их [[Динамическое программирование | динамически]]).

Разделим интервал случайных чисел <tex> [1, s] </tex> (где <tex> s = </tex> <tex dpi="180"> \sum\limits_{i=1}^{n}{\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n}{i}}</tex>) на <tex> n </tex> диапазонов, так чтобы размер диапазона <tex> d_i </tex> был равен<tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n}{i} </tex>. С помощью функции для генерации случайного числа получим число <tex> r </tex> в интервале <tex> [1, s] </tex> и выберем количество подмножеств . Возьмем <tex> k </tex> соответствующее диапазону отрезка в которм находится полученное число и по выбранному такое, что <tex> k r \in d_k </tex> получим и построим случайное разбиение множества размера из <tex> n </tex> элементов на <tex> k </tex> подмножеств.