32
правки
Изменения
м
Правки
Следствие 1 из теоремы
|statement=
Пусть <tex>M = (S\langle X, I)\rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Если <tex>X \in I</tex> и <tex>y \notin X</tex>, тогда <tex>X \cup y \in I</tex> или существует единственный цикл <tex>C \subseteq X \cup y.</tex> Более того, для любого <tex> \widehat{y} \in C, (X \cup y) \setminus \widehat{y} \in I.</tex>
|proof=
Если <tex>X \cup y \notin I, </tex> тогда в нем должен существовать цикл <tex>C_1.</tex> Предположим, что существует другой цикл <tex>C_2 \subseteq X \cup y, </tex> и <tex>C_1 \ne C_2.</tex> Поскольку <tex>X \in I,</tex> тогда и <tex>C_1</tex>, и <tex>C_2</tex> одновременно содержат <tex>y</tex>. По 3 пункту теоремы, <tex>(C_1 \cup C_2) \setminus y</tex> содержит цикл <tex>C.</tex> Возникает противоречие, так как <tex>(C_1 \cup C_2) \setminus y \subseteq X.</tex> Поэтому, <tex>X \cup y</tex> содержит единственный цикл <tex>C.</tex>
Следствие 2 из теоремы
|statement=
Пусть <tex>B M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид и <tex> \widehatmathcal{B}</tex> {{---}} базысемейство его баз. Тогда для всех <tex>B, \widehat{B} \in \mathcal{B}</tex> выполнено: для любого <tex>\widehat{x} \in \widehat{B} \setminus B</tex> существует такой <tex>x \in B \setminus \widehat{B}, </tex> что <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x</tex> {{---}} база.
|proof=
<tex>B</tex> {{---}} база, следовательно <tex>B \in I, </tex> при этом <tex>\widehat{x} \notin B,</tex> а <tex>B \cup \widehat{x} \notin I. </tex> Тогда, по прошлому утверждению, существует <tex>x \in C \subseteq B \cup \widehat{x}, </tex> а <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x \in I.</tex>
