Изменения

Существует упорядоченная пара Даны два конечных последовательностей списка <tex>(A = ( a_1 , \ldots dots, a_n ) , </tex> и <tex>B = ( b_1 , \ldots dots , b_n ))</tex>, где <tex>a_i \in \Sigma ^*</tex> и <tex>b_i \in \Sigma ^*</tex> для всех <tex>i</tex>. Вопрос существования непустой последовательности индексов <tex>( i_1 , \ldots dots, i_k )</tex>, удовлетворяющей условию <tex>a_{i_1} \ldots dots a_{i_k} = b_{i_1} \ldots dots b_{i_k}</tex>, где <tex> 1 \leq leqslant i_j \leq leqslant n</tex> для каждого всех <tex>j</tex>, называется '''проблемой соответствий Поста (ПСП)'''. Такую последовательность индексов, в случае её существования, называют '''решением проблемы соответствий Поста'''.

Не Язык пар последовательностей, для которых существует алгоритмарешение ПСП, [[Перечислимые языки | перечислим]].|proof=Для списков <tex>A</tex> и <tex>B</tex> размера <tex>n</tex> из условия ПСП построим программу-полуразрешитель <tex>p</tex>, проверяющую все возможные решения: '''for''' <tex>m = 1 \dots \infty</tex> '''foreach''' <tex>(i_1, i_2, \dots, i_m): 1 \leqslant i_j \leqslant n</tex> '''if''' <tex>a_{i_1} \dots a_{i_m} = b_{i_1} \dots b_{i_m}</tex> '''return''' ''true'' Таким образом, позволяющего по произвольной постовской системе соответствия над алфавитом узнатьязык пар последовательностей, имеет ли она для которых существует решение. (Другими словамиПСП, полуразрешим, а значит, проблема соответствий Поста неразрешимаперечислим.)

'''Модифицированной проблемой Проблема соответствий Поста (МПСП)''' называется вопрос существования , для которой фиксирован элемент последовательности индексов <tex>( 1 , i_1, \ldots , i_k )</tex>, удовлетворяющих условию <tex>a_1 a_{i_1} \ldots a_{i_k} = b_1 b_{i_1} \ldots b_{i_k}, </tex> при <tex> 1 \leq i_j \leq n</tex> <tex>\forall j</tex> для упорядоченной пары конечных последовательностей <tex>(( a_1 , \ldots , a_n ) , называется '''модифицированной проблемой соответствий Поста ( b_1 , \ldots , b_n МПСП))</tex>, где <tex>a_i \in \Sigma ^*</tex> и <tex>b_i \in \Sigma ^*</tex> <tex>\forall i</tex>'''.

Докажем [[Разрешимые (рекурсивные) языки|неразрешимость]] языка ПСП следующим образом. Докажем, что универсальный язык [[M-сводимость|сводится]] к языку МПСП, который в свою очередь сводится к языку ПСП. При этом отметим, что для унарного алфавита ПСП разрешима. === Cведение МПСП к ПСП === Пусть даны списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> из условия МПСП. Построим два новых списка <tex>C</tex> и <tex>D</tex> и рассмотрим ПСП для них. Для этого введем два новых символа, которые не используются в словах из цепочек <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Пусть для определенности это будут символы <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex>. Тогда сформируем два новых списка <tex>C, D</tex> по следующим правилам:* для всех <tex>i = 1 \dots n</tex> возьмем <tex>c_i</tex> равное слову <tex>a_i</tex> с символом <tex>\#</tex> после каждого его символа. Например, для <tex>a_i = 10zx</tex> положим <tex>c_i = 1\#0\#z\#x\#</tex>,* для всех <tex>i = 1 \dots n</tex> возьмем <tex>d_i</tex> равное слову <tex>b_i</tex> с символом <tex>\#</tex> перед каждым его символом. Например, для <tex>b_i = 10zx</tex> положим <tex>d_i = \#1\#0\#z\#x</tex>,* <tex>c_0 = \#c_1</tex>,* <tex>d_0 = d_1</tex>,* <tex>c_{n+1} = \$</tex>,* <tex>d_{Теоремаn+1} = \#\$</tex>.  {{Лемма|id=lemma-

Язык имеющих решение проблем соответствий поста перечислимМПСП для пары списков <tex>(A, но не разрешим.B)</tex> сводится к ПСП для пары списков <tex>(Не существует примера неразрешимого языкаC, который является языком программD)</tex>.

Сначала докажем для случая, когда <tex>i_1 = 1</tex>. Считаем, что '''Машина Тьюринка''' (<tex>MT</tex>) никогда не приходит в <tex>N</tex>. <tex>MT: (m, \omega)</tex>. Задача <tex>m(\omega) = yRightarrow</tex> не разрешима. Предположим, что мы умеем решать '''МПСП'''.

Пусть набор индексов <tex>a_1 = \$ \#_s \omega (1, i_2, \$</tex>dots, <tex>b_1 = \$i_k)</tex>— решение МПСП из условия леммы.Получаем То есть <tex>\$ A_0 \$ \ldots \$ A_k \$w_A = w_B</tex>, <tex>\$ A_i \ldots</tex>.где

Если <tex>MTw_A = a_1 a_{i_2} \dots a_{i_k}</tex> остановится, добьёмся того, что зак. Иначе строки будут расти до бесконечности, но никогда не закончатся.

<tex>\forall c \in \Pi</tex> заведём пару <tex>(a_i=c b_i = c), (a_i = \$ b w_B = b_1 b_{i_2} \$)dots b_{i_k}</tex>.

Соответственно, получаем Рассмотрев цепочки <tex>a_i = d \#_pw_C</tex>, и <tex>b_i = \#_q cw_D</tex> и <tex>\delta(q, c) = <pаналогичными индексами, dзаметим, \rightarrow></tex>что мы имеем почти равные цепочки с той лишь разницей, а также что первой не хватает символа <tex>a_i = \#_p a d</tex>в начале, <tex>b_i a \#_q e</tex> и <tex>\delta (a, c) = <p, d, \leftarrow></tex>а второй — в конце.Аналогично поступаем и с переходом на местеКонкретно, или считаем, что такого не бывает.

Изменив первый индекс с <tex>1</tex> на <tex>0</tex>, решим проблему с символом <tex>| \$ | \#_s \omega_1 \$ | d </tex> в начале. Добавив индекс <tex>n+1</tex> к набору, решим проблему с символом <tex>\#_p | w_2 \ldots | \$ | \#_y \$ | \$ |</tex>в конце.

<tex>| c_0 c_{i_2} \$ | dots c_{i_k} c_{n+1} = d_0 d_{i_2} \omega_1 | \omega_2 \ldots | \$ | \#_y \$ \$ |dots d_{i_k} d_{n+1} </tex>.

т.е. добавляем элементы и находим соответствующие переходыИтого, если <tex>(1, i_2, \dots, i_k)</tex> — решение исходной МПСП, то <tex>(0, i_2, \dots, i_k, n+1)</tex> — решение построенной по правилам выше ПСП.

Добавим далее<tex>\Leftarrow</tex> В любом существующем решении ПСП для списков <tex>C, D</tex> должны выполняться условия:* <tex>a i_1 = 0</tex>, так как только в паре <tex>(c_1, d_1)</tex> первые символы совпадают,* последний индекс равен <tex>n+1</tex>, так как только в паре <tex>(c_{n+1}, d_{n+1})</tex> строки заканчиваются одинаковыми символами. Пусть последовательность <tex>(0, i_2, i_3, \#_ydots, i_k, n + 1)</tex>является решением ПСП. Иными словами,  <tex>b c_0 c_{i_2} \dots c_{i_k} c_{n+1} = d_0 d_{i_2} \#_y cdots d_{i_k} d_{n+1}</tex>. * или Если <tex>i_f</tex> — наименьший индекс, равный <tex>n+1</tex>, то <tex>c_0 c_{i_2} \dots c_{i_f}</tex>, <tex>d_0 d_{i_2} \dots d_{i_f}</tex> — префиксы исходных конкатенаций до первого символа <tex>\$</tex>, следовательно, равны между собой. Последовательность <tex>(0, i_{2} \dots, i_f)</tex> — также решение ПСП, причём первый индекс равен <tex>0</tex> и <tex>a i_f = n + 1</tex>. Остальные индексы не превосходят <tex>n</tex>, но и не равны <tex>0</tex>, иначе в левой части равенства образуется подстрока из двух <tex>\#_y</tex>подряд, а в правой её не может быть. Учитывая эти ограничения, перепишем получившееся равенство: <tex>\# c_1 c_{i_2} \dots c_{i_{f-1}}\$</tex> <tex>b = c </tex> <tex>d_1 d_{i_2} \dots d_{i_{f-1}} \#_y\$</tex>. Оставив из этих двух строк символы, стоящие на чётных позициях, и удалив с конца <tex>\$</tex>, получим * или <tex>a a_1 a_{i_2} \dots a_{i_{f-1}} = b_1 b_{i_2} \$dots b_{i_{f-1}}</tex>. Итого, если <tex>(0, i_2, \dots, i_k, n+1)</tex>— решение ПСП, то <tex>b (1, i_2, \dots, i_k)</tex> — решение исходной МПСП.}}   === Сведение универсального языка к МПСП ==={{Определение|definition= Назовём '''снимком состояния [[Машина Тьюринга|МТ]]''' строку вида <tex>c_1 c_2 \dots c_k \#_y _p c_{k+1} \$ dots c_t</tex>, где <tex>c_1 c_2 \dots c_t</tex> — строка на ленте, за исключением бесконечных последовательностей пробелов слева и справа, <tex>p</tex> — текущее состояние автомата МТ, головка расположена справа от <tex>\$#_p</tex>.

Теперь остаётся избавиться от требования фиксированного первого индекса<tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \dots \$ \#_{yes} \$ \$</tex>, т.е. перейти от '''МПСП''' к '''ПСП''':

'''Известно''':* Существует решение '''МПСП''' где <tex>\Rightarrowsnap_i</tex> — снимки последовательных состояний МТ от стартового до конечного, <tex>snap_{n_{-t}}</tex> — последний снимок с <tex>t</tex> существует решение '''ПСП'''* Не существует решения '''МПСП''' удалёнными символами, а <tex>\Leftarrow$</tex>— символ, не существует решения '''ПСП''''''Необходимо''':* Не существует решения '''МПСП''' принадлежащий алфавиту ленты и алфавиту входных слов. Оговоримся, что отвергающего состояния <tex>\Rightarrowno</tex> в автомате МТ не существует решения '''ПСП''', а допуск происходит при попадании в состояние <tex>yes</tex>.

Возьмём экземпляр задачи МПСП: Сформируем списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> по МТ <tex>(( a_1 , \ldots , a_n ) , ( b_1 , \ldots , b_n ))M</tex>. Вставим между каждой парой символов во всех строках символ и входной строке <tex>*w</tex>.Будем добавлять пары цепочек в эти списки по следующим правилам:

:1. <tex>a_1 = \$ \#_{start} w \$ </tex>, <tex>b_1 = \$</tex>. По определению МПСП эта пара всегда будет первой в любом решении.:2. <tex>a_i = c</tex>i , <tex>b_i = 1c</tex> для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:3. <tex>a_i = \$</tex>, <tex>b_i = \$</tex>.* :4. <tex>a_i = \#_q e d</tex>a_1 , <tex>b_i = e \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = * c_1 * c_2 \ldots c_l *langle q, d, \leftarrow \rangle</tex> и для всех символов алфавита <tex>e</tex>.* :5. <tex>a_i = d \#_q</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>b_1 \delta (p, c) = * c_1 * c_2 \ldots c_llangle q, d, \rightarrow \rangle</tex>.:6. <tex>a_i = \#_q d</tex>, <tex>i b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \downarrow \rangle</tex>. Заметим, что все элементы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>, кроме первых, имеют одинаковую длину. Значит, строка, составленная из элементов <tex>A</tex>, всегда оказывается длиннее. Если представить процесс формирования решения МПСП как динамический, то строка из элементов <tex>B</tex> вынуждена постоянно "догонять" первую. Более того, можно заметить, что вторая строка всегда будет отставать ровно на один снимок. Действительно, первая пара из списков <tex>A</tex> и <tex>B</tex> задает это отставание. Затем при помощи элементов из правил <tex>4</tex>, <tex>5</tex> и <tex>6</tex> мы имитируем переход машины Тьюринга, добавляя во вторую строку то состояние и положение головки, которые были до перехода, а в первую строку - то состояние, положение головки и новый ленточный символ, которые стали после перехода. Нетрудно заметить, что тем самым строка составленная из элементов списка <tex>B</tex> будет соответствовать строке из элементов списка <tex>A</tex>, но с отставанием на один переход. Далее с помощью элементов из правил <tex>2 </tex> и <tex>3</tex> мы допишем в обе строки одинаковые суффиксы текущего снимка, разделитель <tex>\$</tex> и префикс нового снимка до следующего перехода машины Тьюринга. Таким образом если первая строка равна  <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$</tex>, то вторая будет равна <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_{n-1} \$</tex>, а через несколько шагов они изменятся на <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n+1} \$</tex> и <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_{n -1} \$ snap_n \$</tex>, соответственно. Теперь стоит новая задача — получить равные строки, если состояние <tex>\#_{yes}</tex> достижимо. Для этого добавим в уже имеющиеся последовательности элементы по следующим правилам:* :7. <tex>a_i = c_1 c_2 \ldots c_l #_{yes}</tex>, <tex>b_i = \rightarrow #_{yes} c</tex>, для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:8. <tex>a_i = c_1 * c_2 * \ldots * c_l *#_{yes}</tex>, <tex>b_i = c \#_{yes}</tex>, для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.* :9. <tex>a_i = \$'</tex>, <tex>b_i = c_1 c_2 \ldots c_l #_{yes} \$ \$'</tex>.  Если состояние <tex>yes</tex> недостижимо, в первой строке никогда не будет символа <tex>\#_{yes}</tex>, и ни одним из новых элементов воспользоваться не удастся. Значит, строки всегда будут иметь различную длину. Если же допускающее состояние встретится, то "съедая" по одному символу с помощью элементов правил <tex>7</tex> и <tex>8</tex> и копируя все остальные с помощью элементов из правил <tex>2</tex> и <tex>3</tex> можно будет привести строки к виду  <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \dots \$ \#_{yes} \$</tex> и <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \dots \$ </tex>. И наконец, с помощью элементов из правила <tex>9</tex> сравняем строки. === Пример === Пусть автомат МТ состоит из двух состояний <tex>start</tex> и <tex>yes</tex>, алфавит ленты содержит символы <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Переходы автомата устроены следующим образом: <tex>\delta (start, a) = \langle start, b, \rightarrow b_i \rangle</tex>; <tex>\delta (start, b) = c_1 * c_2 * \ldots * c_llangle yes, b, \downarrow \rangle</tex>; из <tex>yes</tex>переходов нет. Списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> для строки <tex>i ab</tex> будут сформированы следующим образом: {|class="wikitable" style= n + "text-align: center" |- ! Номер элемента ! <tex>A</tex> ! <tex>B</tex> |- |1 |<tex>\$ \#_{start} ab \$</tex> |<tex>\$</tex> |- |2 |<tex>a</tex> |<tex>a</tex> |- |3 |<tex>b</tex> |<tex>b</tex> |- |4 |<tex>\$</tex> |<tex>\$</tex> |- |5 |<tex>b \#_{start}</tex> |<tex>\#_{start} a</tex> |- |6 |<tex>\#_{yes} b</tex> |<tex>\#_{start} b</tex> |- |7 |<tex>\#_{yes}</tex> |<tex>a \#_{yes}</tex> |- |8 |<tex>\#_{yes}</tex> |<tex>b \#_{yes}</tex> |- |9 |<tex>\#_{yes}</tex> |<tex>\#_{yes} a</tex> |- |10 |<tex>\#_{yes}</tex>* |<tex>a_\#_{n+yes} b</tex> |- |11 |<tex>\$'</tex> |<tex>\#_{yes} \$ \$'</tex> |} Решение МПСП будет иметь следующий вид: {|class="wikitable" |- ! Шаг ! Индекс элемента ! Первая строка ! Вторая строка |- |align="center" | 1 |align="center" | 1 |<tex>\$ \#_{start} ab \$</tex> |<tex>\$</tex> |- |align="center" | 2 |align="center" | 5 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start}</tex> |<tex>\$ \#_{start} a</tex> |- |align="center" | 3 |align="center" | 3 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab</tex> |- |align="center" | 4 |align="center" | 4 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$</tex> |- |align="center" | 5 |align="center" | 3 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b</tex> |- |align="center" | 6 |align="center" | 6 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b</tex> |- |align="center" | 7 |align="center" | 4 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$</tex> |- |align="center" | 8 |align= "center" | 8 |<tex>\$\#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes}</tex>* |<tex>b_\$ \#_{n+1start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes}</tex> |- |align="center" | 9 |align="center" | 3 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b</tex> |- |align="center" | 10 |align="center" | 4 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$</tex> |- |align="center" | 11 |align="center" | 10 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes}</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b</tex> |- |align="center" | 12 |align="center" | 4 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$</tex> |- |align="center" | 13 |align= *"center" | 11 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$\$'</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex> |} {{Лемма|statement=Универсальный язык сводится к МПСП.|proof=Из определения [[M-сводимость|m-сведения]] следует, что мы должны доказать, что машина Тьюринга <tex>M</tex> допускает <tex>w</tex> тогда и только тогда, когда построенный экземпляр МПСП имеет решение. <tex>\Rightarrow</tex> Если <tex>w</tex> допускается <tex>M</tex>, то можно проимитировать работу <tex>M</tex> со входом <tex>w</tex> и, как показано в примере выше, получить равные строки из элементов списков <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. То есть найти решение МПСП. <tex>\Leftarrow</tex> Поскольку все решения МПСП должны начинаться с первой пары, то длина соответствующих строк будет различаться, и, как было сказано выше, если в первой строке никогда не будет символа <tex>\#_{yes}</tex>, то "сравнять" строки по длине не удастся. Значит, если МПСП имеет решение, то символ <tex>\#_{yes}</tex> рано или поздно появится. А значит и машина Тьюринга допустит <tex>w</tex>. }} {{Теорема|statement=ПСП не разрешима.|proof=Скомбинировав обе леммы, мы сведем универсальный язык к языку ПСП, а так как универсальный язык неразрешим, то и ПСП — неразрешима.}}

Нужно начать с <tex>(a_1, b_1)</tex>, т.к. все остальные пары начинаются с различных символов== См.также ==* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в полусистеме Туэ|Задача о выводе в полусистеме Туэ]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении|Задача о замощении]]* [[Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики|Однозначность грамматики]]* [[Неразрешимость задачи об эквивалентности КС-грамматик]]* [[Неразрешимость проблемы существования решения диофантова уравнения в целых числах]]

Возникающее однозначное соответствие может быть решением этой системы == Источники информации ==* Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и решением исходной задачивычислений, к которой всё начиналось 2-е изд. : Пер. с пары <tex>(a_1англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», b_1)<2008. — С. 528. — ISBN 5-8459-1347-0* [http://tex>en.wikipedia.org/wiki/Post_correspondence_problem Wikipedia — Post correspondence problem]