1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
Лекция от 27 сентября 2010.
[[Предел последовательности#Предел последовательности|Определение предела]]
== Теорема Вейерштрасса ==
{{Определение
|definition=
{{Теорема
|id = thWeier
|author=Вейерштрасс
|statement=
<tex> \exists d \in \mathbb R: d = \sup\limits_{n \in \mathbb N} a_n </tex>, поскольку <tex> a_n </tex> {{---}} ограничена сверху, и <tex> d </tex> {{---}} конечен, так как <tex> a_n </tex> {{---}} ограничена сверху.
По [[Грани числовых множеств#Определенияdefsup|определению]] <tex> \sup a_n </tex>:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: d - \varepsilon < a_n </tex>
}}
===Пример===
<tex> a_n = (1 + \frac 1n)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k \frac {1}{n^k} </tex>
<tex> 2 < a_n < 3 \Rightarrow </tex> По теореме Вейерштрасса, <tex> \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n </tex>. Его обозначают числом <tex> e </tex>. Также только что мы показали, что <tex> 2 < e < 3 </tex>.
==Теорема Больцано==
{{Определение
}}
===Пример===
<tex> b_n = a_{2n} : b_1 = a_2, b_2 = a_4, \dots </tex>
{{Теорема
|id = thBolzano
|author=Больцано
|statement=Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность
}}
==Теорема Коши==
Пункт третий связан с одним из фундаментальных свойств числовой оси {{---}} ''полнотой''.
{{Определение
|id =
|definition=
Последовательность <tex> a_n </tex> ''сходится в себе'':
{{Теорема
|id = thCauchy
|author=Коши
|statement=Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится.
