77
правок
Изменения
Нет описания правки
'''Кросс-валидация''' или '''скользящий контроль''' это {{---}} процедура эмпирического оценивания обобщающей способности алгоритмов.
С помощью кросс-валидации эмулируется наличие тестовой выборки, которая не участвует в обучении, но для которой известны правильные ответы.
Пусть <tex> X </tex> {{---}} множество [[Общие понятия | признаков]], описывающих объекты, а <tex> Y </tex> {{---}} конечное множество меток.
<tex>T^l = {(x_i, y_i)}_{i=1}^{l}, x_i \in X, y_i \in Y</tex> {{---}} обучающая выборка.,
<tex>Q</tex> {{---}} мера качества.,
<tex>A</tex> {{---}} [[Модель алгоритма и ее выбор | модель]].,
<tex>\mu: (X \times Y)^l \to A, </tex> {{---}} алгоритм обучения.
== Разновидности Кросскросс-валидации ==
=== Валидация на отложенных данных (Hold-Out Validation) ===
После чего решается задача оптимизации:
<tex>HO(\mu, T^t, T^{l-t}) = Q(\mu(T^t), T^{l-t}) \to min </tex>,
Метод Hold-out применяется в случаях больших датасетов, т.к. требует меньше вычислительных мощностей по сравнению с другими методами кросс-валидации.
=== Полная кросс-валидация (Complete cross-validation) ===
# Выбирается значение <tex>t</tex>;# Выборка разбивается всеми возможными способами на две части <tex> T^l = T^t \cup T^{l-t} </tex>.
[[Файл:CompleteCrossValidation.png|500px]]
<tex>CVV_t = \frac{1}{C_l^{l-t}}
\displaystyle\sum_{T^l = T^t \cup T^{l-t}} Q(\mu(T^t), T^{l-t}) \to min </tex>,
Здесь число разбиений <tex>C_l^{l-t}</tex> становится слишком большим даже при сравнительно малых значениях t, что затрудняет практическое применение данного метода.
=== k-fold кросс-валидация ===
# Обучающая выборка разбивается на <tex> k </tex> непересекающихся одинаковых по объему частей;
# Производится <tex> k </tex> итераций. На каждой итерации происходит следующее:
## Модель обучается на <tex> k - 1 </tex> части обучающей выборки;
## Модель тестируется на части обучающей выборки, которая не участвовала в обучении;.
Каждая из <tex>k</tex> частей единожды используется для тестирования.
Как правило , <tex>k = 10</tex> (5 в случае малого размера выборки).
[[Файл:K-fold-validation.png|500px]]
<tex>T^l = F_1 \cup \dots \cup F_k, |F_i| \approx \frac{l}{k} , \\ CV_k = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} Q(\mu(T^l \setminus F_i),F_i) \to min </tex>.
=== t×k-fold кросс-валидация ===
# Процедура выполняется <tex>t</tex> раз:
## Обучающая выборка случайным образом разбивается на <tex>k</tex> непересекающихся одинаковых по объему частей;
## Производится <tex> k </tex> итераций. На каждой итерации происходит следующее:
### Модель обучается на <tex> k - 1 </tex> части обучающей выборки;
### Модель тестируется на части обучающей выборки, которая не участвовала в обучении;.
<tex>T^l = F_{(1,1)} \cup \dots \cup F_{(k,1)} = \dots = F_{(1,t)} \cup \dots \cup F_{(k,t)}, |F_{(i,j)}| \approx \frac{l}{k} </tex> ,
<tex> CV_{t \times k} = \frac{1}{tk} \sum_{j=1}^t \sum_{i=1}^{k} Q(\mu(T^l \setminus F_{(i,j)}),F_{(i,j)}) \to min </tex>.
=== Кросс-валидация по отдельным объектам (Leave-One-Out) ===
[[Файл:LeaveOneOut.png|500px]]
<tex>LOO = \frac{1}{l} \sum_{i=1}^{l} Q(\mu(T^l \setminus p_i),p_i) \to min </tex>, где <tex>p_i = (x_i, y_i)</tex>.
Преимущества LOO в том, что каждый объект ровно один раз участвует в контроле, а длина обучающих подвыборок лишь на единицу меньше длины полной выборки.
=== Критерий целостности модели (Model consistency criterion) ===
Не переобученый алгоритм должен показывать одинаковую эффективность на каждой части.
[[Файл:ModelConsistencyCriterion.png|500px]]
<tex> D_1 = (\mu, T^{l-t}) = \frac{1}{l} \sum_{i=1}^l (\mu(T^t)(x_i)-\mu(T^{l-t})(x_i)) </tex>,
Метод может быть обобщен как аналог <tex> CV_{t \times 2} </tex>.
