77
правок
Изменения
Нет описания правки
'''Метод <tex>k</tex> ближайших соседей''' (англ. kNN {{---}} <tex>k</tex> Nearest Neighbours) {{---}} Для повышения надёжности классификации объект относится к тому классу, которому принадлежит большинство из его соседей {{---}} <tex>k</tex> ближайших к нему объектов обучающей выборки <tex>x_i</tex>. В задачах с двумя классами число соседей берут нечётным, чтобы не возникало ситуаций неоднозначности, когда одинаковое число соседей принадлежат разным классам.
'''Метод взвешенных ближайших соседей''' {{---}} в задачах с числом классов 3 и более нечётность уже не помогает, и ситуации неоднозначности всё равно могут возникать. Тогда <tex>i</tex>-му соседу приписывается вес <tex>w_i</tex>, как правило, убывающий с ростом ранга соседа <tex>i</tex>. Объект относится к тому классу, который набирает больший суммарный вес среди <tex>k</tex> ближайших соседей.
== Описание алгоритма ==
Пусть задана обучающая выборка пар «объект"объект-ответ» ответ" <tex>X^m = \{(x_1,y_1),\dots,(x_m,y_m)\}.</tex>
Пусть на множестве объектов задана функция расстояния <tex>\rho(x,x')</tex>. Эта функция должна быть достаточно адекватной моделью сходства объектов. Чем больше значение этой функции, тем менее схожими являются два объекта <tex>x, x'</tex>.
<tex>a(u) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ y_{i; u}=y \bigr] w(i,u)</tex>,
где <tex>w(i,u)</tex> {{---}} заданная весовая функция, которая оценивает степень важности <tex>i</tex>-го соседа для классификации объекта <tex>u</tex>. Естественно полагать, что эта функция неотрицательна не отрицательна и не возрастает по <tex>i</tex> (поскольку чем дальше объект, тем меньший вклад он должен вносить в пользу своего класса).
По-разному задавая весовую функцию, можно получать различные варианты метода ближайших соседей.
=== Примеры ядер ===
Triangular: <tex>{\displaystyle K(r)=(1-|r|)}</tex>,
Parabolic: <tex>{\displaystyle K(r)={\frac {3}{4}}(1-r^{2})}</tex>,
Tricube: <tex>{\displaystyle K(r)={\frac {70}{81}}(1-{\left|r\right|}^{3})^{3}}</tex>.
=== Метод парзеновского окна ===
Сравним два этих метода. Сперва запишем классификаторы, полученные при использовании этих методов, в явном виде:
Фиксированной ширины: <tex>a_h = a(u, X^m, \boldsymbol{h}, K) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ y_{i; u}=y \bigr] K\biggl(\frac{\rho(u,x_{i; u})}{h}\biggr)</tex>,
Переменной ширины: <tex>a_k = a(u, X^m, \boldsymbol{k}, K) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ y_{i; u}=y \bigr] K\biggl(\frac{\rho(u,x_{i; u})}{\rho(u,x_{k+1; u})}\biggr)</tex>.
<tex>a_h</tex> не будет учитывать соседей на расстояние больше чем <tex>h</tex>, а всех остальных учтет в соответствии с функций ядра <tex>K</tex>.
Часто используют окно переменной ширины т.е. классификатор <tex>a_k</tex>, по следующим причинам:
[[Файл:KnnExample.png|frame|none|super|upright=1|Пример классификации, методом с постоянной шириной окна, и неравномерным разбросом точек]]
== Использование различных метрик расстояния ==
Очень редко известа известна хорошая функция расстояния <tex>\rho(x,x')</tex>. В качестве нее обычно использую следующие функции:
=== Примеры метрик ===
Пусть <tex>x</tex>, <tex>y</tex> {{---}} объекты, а <tex>(x_1, x_2,..., x_n)</tex>, <tex>(y_1, y_2,..., y_n)</tex> их признаковые описания.
Евклидова метрика: <tex>\rho(x,y) = \sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}</tex>,
Расстояние Чебышёва: <tex>\rho(x,y)=\max _{i=1,\dots ,n}|x_{i}-y_{i}|</tex>,
Манхэттенское Расстояние: <tex>\rho(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|</tex>.
При их использовании важно нормировать значения признаков, иначе один признак с максимальным значением может стать приобладающимпреобладающим, а признаки с маленькими значениями не будут учитываться при классификации. Чтобы отсеить отсеять лишние признаки (т.е. не влияющие на класс объекта) можно использовать [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 feature selection].
== Пример использования (через scikit-learn) ==
Рассмотрим использование алгоритма <tex>kNN</tex> на примере [https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Breast+Cancer+Wisconsin+%28Diagnostic%29 реального набора данных].
Предположим, что мы загрузили <tex>wdbc.data</tex> и сохранили как <tex>tr.csv</tex> с заголовком {{- --}} описанием признаков.
* Загружаем данные
Теперь <tex>X</tex>, <tex>y</tex> {{- --}} нормированные значения признаков и соответствующие им классы.
* Делим данные на тренировочное и тестовое множество:
'''from''' sklearn.model_selection '''import''' train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=1234)
* Создаем классификатор:
'''from''' sklearn.neighbors '''import''' KNeighborsClassifier
)
* Обучаемся:
best_model.fit(X_train, y_train)
* Используем скользящий контроль для поиска лучших параметров (англ. cross validation):
'''from''' sklearn.model_selection '''import''' GridSearchCV
best_params = clf.best_params_
* Оценка классификатора:
'''from''' sklearn '''import''' metrics
predicted = best_model.predict(X_test)
* Выводим результат:
print('Used params:', best_params)
print('Evaluation:\n', metrics.classification_report(y_test, predicted))
