Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Рассмотрим поток <tex>g - f</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Его величина равна <tex>\delta</tex>.
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. По [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|лемме]] в этом представлении нет отрицательных циклов, так как поток <tex>f</tex> минимальный, положительных циклов нет, так как поток <tex>g</tex> минимальный. То есть <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов. Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>.
Тогда <tex>\delta \cdot g_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>\delta</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Отсюда получаем требуемое.
}}
