1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
[[Категория: Параллельное программирование]]
{{Определение
|definition=
* Из любого состояния мы попадаем в '''легальное''' через конечное число шагов (при отсутствии сбоев).
}}
Тогда от ''любого'' сбоя мы через конечное число шагов будем восстанавливаться без консенсусов и прочих развлечений.
== Взаимное исключение ==
Dijkstra Stabilizing Token Ring Algorithm.
Сначала надо переформулировать задачу: мы говорим, что каждый процесс в системе может либо '''иметь привилегию''', либо не иметь.
В произвольном состоянии системы привилегия может быть у произвольного количества процессов, но через конечное число шагов она остаётся только у одного процесса и мы входим в легальное состояние.
Дальше остаёмся только в легальных состояниях.
TODO: а какие сообщения процессы посылают друг другу? Могут ли быть ошибки (наверное, нет)? Может ли система быть асинхронной (наверное, тоже нет)?
Все $N$ процессов будут замкнуты в кольцо, в котором один процесс назван "первым".
У каждого процесса есть состояние — число от 0 до $K-1$, причём $K \ge N$ — параметр алгоритма.
По определению положим, что у процесса есть привилегия, если:* Он первый и его значение $S$ совпадает со значением $L$ следующего по часовой стрелке процесса.* Он не первый и его $S$ не совпадает с $L$. Например, на рисунке ниже толстая граница у выделенного процесса, а жёлтым обозначена привилегия: [[Файл:distributed-self-stabilization-legal.png|400px]] Правила перехода в новое состояние:* Для первого процесса: если была привилегия ($S=L$), то переходим в состояние $(S + 1) \bmod K$* Для не-первого процесса: если привилегия есть ($S \neq L$), то переходим в состояние $L$Пример двух переходов: [[Файл:Distributed-self-stabilization-step-1.png|400px]] [[Файл:Distributed-self-stabilization-step-2.png|400px]] Таким образом, в легальном состоянии привилегия у нас ходит по кругу, как в алгоритме с токеном.Но там потеря токена была смертельной для алгоритма, а у нас — не смертельна. = Взаимное исключение ==Доказательство стабилизируемости ==='''Лемма''': в любом состоянии хотя бы у одного процесса есть привилегия.В противном случае у нас, с одной стороны, все значения машин равны друг другу (потому что для каждой машины, кроме первой, её значение совпадает со следующей по кругу), а с другой стороны значение первой машины и её соседа должны отличаться, противоречие. '''Лемма''': что бы не происходило в системе, через $O(N^2)$ шагов в системе первый процесс сделает ход.'''Доказательство (с лекции)''': если первый процесс не делает ход, то следующий за ним против часовой стрелки процесс 2 сможет сделать максимум один ход: взять себе значение первого процесса.Процесс 3 после каждого хода процесса 2 может сделать максимум один ход: взять себе значение процесса 2.То есть процесс 3 может сделать не больше двух ходов (один исходно, один после хода процесса 2).Аналогично, процесс 4 может сделать не больше трёх ходов, и так далее.Итого мы получаем, что если первый процесс не делает шаги, то через $O(N^2)$ шагов привилегия полностью исчезнет, чего не бывает. '''Альтернативное доказательство (проверено рандомом)''': если первый процесс может сделать ход сразу, то всё доказали. Иначе у него нет привилегии.Заметим, что если следующий за ним по часовой стрелке процесс 2 либо имеет значение, равное ему, либо отличающееся (тогда он имеет привилегию и сразу делает ход).Таким образом, через один ход процессы 1 и 2 имеют одинаковые значения.Аналогично, через два хода процессы 1, 2 и 3 имеют одинаковые значения.А через $N-1$ шаг все процессы гарантированно имеют одинаковые значения (если первый процесс так и не походил).Таким образом, через $N-1$ шаг у первого процесса появляется привилегия и он ходит, $N=O(N^2)$. '''Лемма''': рано или поздно у первого процесса будет уникальное $S$.'''Доказательство''': все остальные процессы умеют только копировать состояния друг у друга, а первый процесс ходит бесконечно.Поэтому рано или поздно он перейдёт на состояние, которое не совпадает ни с одним из оставшихся $N-1$ состоянием. '''Лемма''': через $O(N^2)$ после этого система стабилизируется.'''Альтернативное доказательство (не с лекции)''': это состояние будет сразу же скопировано на второй процесс, потом сразу же скопировано на третий, и так далее, после чего мы прийдём в состояние, где все значения равны, а оно легальное.
== Поиск остовного дерева ==
Такая задача возникает, например, в internet of things: набросали с вертолёта на поле размером 3км*3км много хрупких устройств со слабыми антеннами, которым надо соединиться в единую сеть. При этом топология связи там неполная и половина устройств подохла.
А мы хотим построить дерево, чтобы узлы могли друг с другом общаться (а не каждый каждому передавать, потому что тогда надо бороться с циклами).
Решение начинается с инициатора (например, узел, которому надо что-нибудь узнать про всех остальных), которому это дерево нужно.
Каждый узел поддерживает у себя $d$ (расстояние до корня) и $p$ (узел-предок в дереве).
Корень всегда ставит у себя $d=0$ и $p=-1$, а остальные узлы в постоянном режиме делают:
* Найти соседа $j$ с минимальным $d_j$
* Установить его в качестве своего родителя и $d_i=d_j+1$
Тогда корень стабилизируется сразу, узлы, которым корень виден, стабилизируются через одну итерацию, их соседи — через две, и так далее.
Если какой-нибудь узел выпадает, то его дети найдут себе кого-нибудь ещё и снова встроятся в дерево.
Единственная проблема — если умирает корень, но тогда узнавший об этом узел может инициировать перестроение дерева (если у нас цель — связь).
