5
правок
Изменения
Добавлен знак умножения
{{Задача
|definition = Доказать, что <tex>f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_f_n \cdot f_{n+1}</tex>.
}}
[[Решение рекуррентных соотношений#.5Bmath.5D3.5B.2Fmath.5D_.D0.BF.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80 | Известно]], что производящая функция последовательности <tex>f_0^2, f_1^2, \ldots, f_n^2, \ldots</tex> равна <tex>G(z) = \dfrac{1 - z}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}.</tex>
<br><tex>A(z) = \dfrac{1 - z}{(1 - 2z - 2z^2 + z^3)(1 - z)} = \dfrac{1}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}.</tex><br>
Теперь получим производящую функцию <tex>B(z)</tex> для последовательности, соответствующей правой части <tex>(f_0f_1f_0 \cdot f_1, f_1f_2f_1 \cdot f_2, \ldots)</tex>:<br><tex>b_n = f_nf_f_n \cdot f_{n+1} = f_n(f_{n-1} + f_n) = f_{n-1}\cdot f_n + f_n^2 = b_{n-1} + g_n.</tex><br>
<br><tex>
<br><tex>B(z) = \dfrac{G(z)}{1 - z} = \dfrac{1}{1 - 2z - 2z^2 + z^3} = A(z).</tex><br>
Производящие функции <tex>A(z)</tex> и <tex>B(z)</tex> равны <tex>\Rightarrow</tex> почленно равны задаваемые ими последовательности <tex>f_0^2, f_1^2, \ldots, f_nf_2^2, \ldots</tex> и <tex>f_0f_1f_0 \cdot f_1, f_1 \cdot f_2, f_1f_2f_2 \cdot f_3, \ldots</tex>, а значит, и исходное равенство <tex>f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_f_n \cdot f_{n+1}</tex> выполняется.
==См. также==
